베이지안 추론 원리의 자세한 예

베이지안 추론 원리에 대한 자세한 설명과 예시

이름: Yu Yue 학생 ID: 16010188033

삽입된 소 소개: 베이지안 추론은 영국인이 개발했습니다. 목사 베이지안 베이지안이 발견한 귀납적 추론 방법. 이후 많은 연구자들이 관점, 방법 및 이론 측면에서 베이지안 방법을 계속 개선하여 결국 영향력 있는 통계 학파를 형성하여 고전 통계의 지배력을 깨뜨렸습니다. 베이지안 추론은 고전적인 통계적 귀납적 추론(추정 및 가설 검정)을 기반으로 개발된 새로운 추론 방법입니다. 고전적인 통계적 귀납적 추론 방법과 비교하여, 베이지안 추론은 현재 관찰된 표본 정보뿐만 아니라 추론자의 과거 경험과 지식을 바탕으로 결론을 도출해야 합니다.

Niu의 코 삽입: 베이지안 추론/통계

Niu의 질문 삽입: 베이지안 추론의 원리는 무엇입니까? 예를 통해 베이즈의 원리를 이해하는 방법은 무엇입니까?

삽입된 텍스트:

베이지안 추론은 데이터를 예측하는 정확한 방법입니다. 예상한 만큼의 데이터는 없지만, 예측 정보를 누락 없이 종합적으로 얻고 싶을 때 매우 유용합니다.

베이즈 추론을 언급하면 ​​사람들은 감탄하는 경우가 많다. 사실 상상만큼 마술적이거나 신비롭지는 않습니다. 베이지안 추론의 이면에 있는 수학은 점점 더 정교해지고 복잡해지고 있지만, 그 이면의 개념은 여전히 ​​매우 이해하기 쉽습니다. 즉, 베이지안 추론은 모든 사람이 더 강력한 결론에 도달하고 이를 알려진 답변 내에 배치하는 데 도움이 됩니다.

베이지안 추론의 개념은 토마스 베이즈(Thomas Bayes)로부터 유래되었습니다. 300년 전, 그는 결코 규례를 따르지 않는 교회 목사였습니다. Bayes는 두 권의 책을 썼습니다. 하나는 신학에 관한 것이고 다른 하나는 확률에 관한 것입니다. 그의 작업에는 현재 베이즈 정리로 알려진 프로토타입이 포함되어 있으며, 이후 추론 문제와 교육된 추측이라는 용어에 적용되었습니다. 베이지안 개념은 리차드 브라이스(Richard Bryce)라는 목사님의 강력한 홍보 덕분에 큰 인기를 얻었습니다. 이 사람은 이 정리의 중요성을 깨달은 후 이를 최적화하여 출판했습니다. 따라서 이 정리는 더욱 정확해집니다. 이러한 이유로 Bayes의 정리는 역사적으로 Bayes-Price 규칙이라고 불렸습니다.

번역가의 메모: 교육받은 추측은 경험(또는 전문 지식, 현재 알고 있는 정보, 사실 등)을 기반으로 한 추정(또는 예측, 추측, 의견 등)입니다.

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영화 베이지안 추론

당신이 영화를 보기 위해 극장에 갔는데, 앞에서 관람하고 있는 친구들이 이때 티켓을 잃어버렸다고 상상해 보십시오. 이 사진은 그들의 뒷모습이다. 성별은 알 수 없고 머리가 길다는 것만 알 수 있습니다. 그래서 실례합니다, 부인, 아니면 실례합니다, 선생님이라고 말씀하시는 겁니까? 남성과 여성의 헤어스타일에 대한 지식을 고려하면 이것이 여성이라고 생각할 수도 있습니다. (이 예는 매우 간단합니다. 머리 길이와 성별은 두 가지뿐입니다.)

이제 위의 상황을 약간 변경하면 이 사람은 남자 화장실에 들어가기 위해 줄을 서고 있습니다. 이 추가 정보를 토대로 이 사람이 남자라고 생각할 수도 있습니다. 상식과 배경지식을 활용하여 생각하지 않고 판단을 완성하는 예입니다. 베이지안 추론은 이 방법을 수학적으로 구현한 것으로, 덕분에 더욱 정확한 예측을 할 수 있습니다.

영화관이 직면한 딜레마에 숫자를 붙인다. 먼저, 극장에 있는 남성과 여성의 수를 100명 중 남성이 50명, 여성이 50명으로 균등하게 나눈다고 가정합니다. 여성 중 절반은 긴 머리이고 나머지 25명은 짧은 머리입니다. 남성 중 짧은 머리는 48명, 긴 머리는 2명이다. 장발의 여성이 25명, 남성의 장발이 2명으로 보아 티켓 소지자는 여성일 가능성이 가장 높다고 유추할 수 있다.

남자화장실 밖에는 100명이 줄을 섰는데 그 중 남자가 98명, 여자 2명이 동행했다. 긴 머리를 가진 여성과 짧은 머리를 가진 여성은 여전히 ​​똑같이 나누어져 있지만, 여기서는 각각 한 가지 유형만 있습니다. 남자 98명 기준으로 긴 머리 남자의 비율은 변함이 없으며, 짧은 머리 남자는 94명, 긴 머리 남자는 4명이다. 장발의 여자 1명과 장발의 남자 4명이 있었던 점을 고려하면, 현시점에서 티켓 소지자는 남자일 가능성이 가장 높다. 이는 베이지안 추론 원리의 구체적인 예입니다. 중요한 단서를 미리 알고 있다면, 티켓 소지자들이 남자화장실 밖에 줄을 서 있는 것은 우리가 더 나은 예측을 하는 데 도움이 될 수 있습니다.

베이지안 추론을 명확하게 설명하기 위해서는 자신의 생각을 명확하게 정의하는 시간을 가져야 합니다. 불행히도 여기에는 약간의 수학이 필요합니다. 나는 꼭 필요한 경우가 아니면 이 프로세스를 너무 난해하게 다루지 않으려고 노력했으며, 내가 진행하면서 더 많은 하위 섹션을 확인하면 확실히 도움이 될 것입니다. 모두가 기초를 다지기 위해서는 확률, 조건부 확률, 결합 확률, 한계 확률이라는 네 가지 개념을 빠르게 언급해야 합니다.

확률

사건이 발생할 확률은 해당 사건의 발생 횟수를 모든 사건의 발생 횟수로 나눈 값과 같습니다. 영화 관객이 여성일 확률은 여성 50명을 영화 관객 100명으로 나눈 값으로 0.5, 즉 50%이다. 남성도 마찬가지입니다.

남자화장실 배치의 경우 여자일 확률은 0.02로 떨어지고, 남자일 확률은 0.98이다.

조건부 확률

조건부 확률은 이 사람이 여자라는 것을 안다면 그 사람이 긴 머리를 가질 확률은 얼마입니까?라는 질문에 답합니다. 조건부 확률은 직접 확률과 동일한 방식으로 계산되지만 특정 조건을 충족하는 모든 사례의 하위 집합과 비슷합니다. 이 예에서 이 사람은 여성이고, 긴 머리를 가진 사람의 조건부 확률 P(긴 머리 | 여성)은 긴 머리를 가진 여성 수를 전체 여성 수로 나눈 값이며, 결과는 0.5입니다. 남자화장실 밖의 줄을 생각하든, 아니면 극장 전체를 생각하든 말이죠.

마찬가지로 이 사람이 남자이고 긴 머리를 가질 조건부 확률 P(긴 머리 | 남자)는 대기열에 있는지 여부에 관계없이 0.4입니다.

매우 중요한 점은 조건부 확률 P(A | B)가 P(B | A)와 동일하지 않다는 것입니다. 예를 들어 P(귀엽다 | 강아지)는 P(강아지 | 귀엽다)와 다르다. 내가 강아지를 안고 있으면 강아지가 귀여울 확률이 매우 높다. 귀여운 것을 안으면 강아지가 될 확률은 낮거나 중간 정도다. 새끼 고양이, 토끼, 고슴도치, 심지어 작은 인간일 수도 있습니다.

결합 확률

결합 확률은 '이 사람이 짧은 머리를 가진 여성일 확률은 얼마입니까?'와 같은 질문에 답하는 데 적합합니다. 답을 찾으려면 두 단계가 필요합니다. 먼저, 확률이 여성인 P(woman)일 확률을 살펴보자. 다음으로, 그 사람이 여자임을 고려하여 짧은 머리를 가진 사람이 나올 확률 P(짧은 머리 | 여자)를 준다. 곱셈을 통해 조합이 수행되어 결합 확률인 P(짧은 머리 여자) = P(여자) * P(짧은 머리 | 여자)가 됩니다. 이 방법을 사용하면 모든 영화 관람에서 P(긴 머리를 가진 여성)가 0.25이고, 남성 라운지 대기열에서 P(긴 머리를 가진 여성)가 0.1이라는 것을 알 수 있는 확률을 계산할 수 있습니다. 차이점은 두 경우의 P(여성)가 다르기 때문이다.

마찬가지로 영화 관람객 중 P(긴 머리 남자) 확률은 0.02인 반면, 남자화장실 대기열에서는 확률 0.04이다.

조건부 확률과 달리 결합 확률은 순서와 관련이 없습니다. P(A 및 B)는 P(B 및 A)와 동일합니다. 예를 들어, 우유와 도넛을 모두 먹을 확률은 도넛과 우유를 먹을 확률과 같습니다.

한계 확률

마지막 기본 여정은 한계 확률입니다. 특히 긴 머리를 가질 확률은 얼마나 됩니까?와 같은 질문에 답하는 데 적합합니다. 결과를 계산하려면 이런 일이 발생할 확률, 즉 남자가 긴 머리를 가질 확률과 여자가 긴 머리를 가질 확률을 모두 더해야 합니다. 이 두 확률을 더하면 모든 영화 관람객에 대해 P(긴 머리) 값이 0.27, 남성 라운지 대기열에 대해 0.05가 됩니다.

베이즈 정리

이제 우리가 정말로 관심을 갖는 부분이 나옵니다. 우리는 긴 머리를 가진 사람을 알고 있다면 그 사람이 여자일 확률은 얼마나 되는지, 아니면 남자일지 묻는 질문에 답하고 싶습니다. 이는 우리가 이미 알고 있는 P(긴 머리 | 남자)의 역인 조건부 확률 P(남자 | 긴 머리)입니다. 조건부 확률은 되돌릴 수 없기 때문에 이 새로운 조건부 확률에 대해 아는 바가 거의 없습니다.

다행스럽게도 Thomas는 우리에게 도움이 될 수 있는 몇 가지 멋진 지식을 발견했습니다.

결합 확률 계산 규칙에 따라 P(긴 머리 남자)와 P(긴 머리와 남자) 방정식을 제공합니다. 결합 확률은 가역적이므로 두 방정식은 동일합니다.

약간의 대수학을 사용하면 P(man | long hair)를 풀 수 있습니다.

표현식은 A와 B를 사용하여 "man"과 "long hair"를 대체하므로 Bayes의 정리를 얻습니다.

영화표 딜레마를 해결하기 위해 처음으로 돌아가 베이즈 정리를 이용해보자.

먼저, 한계 확률 P(긴 머리)를 계산해야 합니다.

그런 다음 데이터를 연결하고 긴 머리를 가진 사람이 남자일 확률을 계산해 보세요. 남자화장실 줄에 선 영화 관람객의 경우 P(man|long hair)는 약 0.8이다. 이를 통해 우리는 티켓을 떨어뜨린 사람이 남자일지도 모른다는 사실을 더욱 확신하게 되었습니다. 베이즈의 정리는 이러한 상황에서 직관을 포착합니다. 그리고 사전 지식을 접목하는 것이 더 중요한 것은 남자화장실 밖에 줄을 서 있는 줄에 여자보다 남자가 훨씬 많았다는 점이다. 이 사전 지식을 사용하여 이 상황에 대한 우리의 이해를 업데이트하십시오.

확률 분포

연극 딜레마와 같은 예는 베이지안 추론의 기원과 메커니즘을 잘 설명합니다. 그러나 데이터 과학 애플리케이션에서는 이러한 추론이 데이터 해석에 자주 사용됩니다. 우리가 측정한 사전 지식을 바탕으로 작은 데이터 세트의 도움으로 더 나은 결론을 도출할 수 있습니다. 자세한 내용을 설명하기 전에 다른 내용을 소개하겠습니다. 즉, 확률분포를 이해해야 합니다.

여기서 확률을 다음과 같이 생각해보세요. 커피 한 냄비가 정확히 한 컵을 채웁니다. 한 잔을 사용해도 문제가 없으나, 한 잔 이상이면, 이 잔들에 커피를 어떻게 나누어 마실지 고민해 볼 필요가 있습니다. 물론 원하는 것은 무엇이든 할 수 있습니다. 모든 커피를 특정 컵에 넣으면 됩니다. 영화관에서 컵은 여성이나 남성을 상징하기도 합니다.

또는 4개의 컵을 사용하여 성별과 머리 길이의 모든 조합의 분포를 나타냅니다. 두 경우 모두 커피의 총량을 더하면 한 잔이 됩니다.

보통 우리는 컵을 나란히 놓고 히스토그램처럼 그 안에 담긴 커피의 양을 확인합니다. 커피는 믿음과 같습니다. 이 확률 분포는 우리가 어떤 것을 얼마나 강하게 믿는지 보여주는 데 사용됩니다.

동전을 던져서 덮었다고 가정하면 앞면과 뒷면이 나올 확률은 같다고 생각하실 것입니다.

주사위를 굴린 다음 덮었다고 가정하면 여섯 개의 면이 각각 동일한 확률로 앞면을 보게 될 것이라고 생각할 것입니다.

제가 파워볼 복권을 샀다고 가정해 보세요. 당첨 확률이 희박하다고 생각하실 겁니다. 동전 던지기, 주사위 굴리기, 파워볼 복권 등의 결과는 모두 데이터 수집과 측정의 예시라 할 수 있다.

당연히 다른 데이터에 대해서도 의견을 가질 수 있습니다. 여기서 우리는 미국 성인의 키를 고려합니다. 제가 어떤 사람들을 만나서 키를 측정했다고 하면, 그들의 키에 대한 여러분의 의견은 위의 그림과 같을 것입니다. 이 견해는 사람의 키가 150~200cm, 대부분 180~190cm일 수 있다고 주장합니다.

이 분포는 더 세밀한 보기를 얻기 위해 제한된 양의 커피를 더 많은 컵에 넣는 것으로 볼 수 있는 더 많은 사각형으로 나눌 수 있습니다.

결국에는 가상 컵의 수가 너무 많아 이런 비유가 부적절해질 것입니다. 이런 식으로 분포가 연속적으로 이루어집니다. 사용된 수학은 약간 변경되었을 수 있지만 기본 아이디어는 여전히 유용합니다. 이 그래프는 당신이 알고 있는 어떤 것에 대한 확률 분포를 보여줍니다.

기다려주셔서 감사합니다! ! 확률 분포를 도입하면 베이즈 정리를 데이터 분석에 사용할 수 있습니다. 이를 설명하기 위해 강아지의 체중 측정을 예로 들어보겠습니다.

수의학에서의 베이지안 추론

자코뱅 레인(Jacobin Reign)이라고 하는데, 동물병원에 갈 때마다 항상 저울 전체에서 흔들리기 때문에 정확한 읽기가 어렵습니다. 데이터. 체중이 증가하면 섭취량을 줄여야 하기 때문에 정확한 체중을 측정하는 것이 중요합니다. 자신보다 음식을 더 좋아하기 때문에 위험도가 상당히 높습니다.

가장 최근에는 그가 인내심을 잃기 전에 13.9파운드, 17.5파운드, 14.1파운드 등 세 번 측정했습니다. 이는 이에 대해 수행된 표준 통계 분석입니다. 강아지의 정확한 체중 분포를 얻으려면 이 숫자 집합의 평균, 표준 편차 및 표준 편차를 계산하세요.

분포는 우리가 생각하는 강아지의 체중을 보여줍니다. 이는 평균이 15.2파운드이고 표준 편차가 1.2파운드인 정규 분포입니다. 실제 측정값은 흰색 선으로 표시됩니다. 불행하게도 이 곡선은 이상적인 너비가 아닙니다. 피크 값은 15.2파운드이지만 확률 분포를 보면 13파운드에서 낮은 값, 17파운드에서 높은 값에 쉽게 도달할 수 있음을 보여줍니다. 자신있게 결정을 내리기에는 너무 광범위합니다. 이러한 상황에 직면했을 때 일반적인 전략은 다시 돌아가 더 많은 데이터를 수집하는 것이지만, 어떤 경우에는 이 방법이 실행 가능하지 않거나 비용이 많이 듭니다. 이 경우 Reign의 인내심이 바닥났으며 이것이 우리가 가지고 있는 유일한 측정값입니다.

이 시점에서 소규모 데이터 세트를 처리하는 데 도움이 되는 베이즈 정리가 필요합니다. 정리를 사용하기 전에 방정식을 검토하고 각 항을 살펴보는 것이 필요합니다.

이 정리를 더 명확하게 사용하기 위해 "A"와 "B"를 "w"(무게)와 "m"(측정값)으로 대체합니다. 네 가지 용어는 각각 이 프로세스의 서로 다른 부분을 나타냅니다.

사전 확률 P(w)는 사물에 대한 기존 지식을 나타냅니다. 이 예에서는 정부에 무게를 두지 않았을 때 우리가 생각하는 무게 w를 나타냅니다.

우도 값 P(m | w)는 특정 가중치 w에 대해 측정된 m 값을 나타냅니다. 가능성 데이터라고도 합니다.

사후 확률 P(w | m)은 무게를 잰 후 특정 무게 w에 있을 확률을 나타냅니다. 물론 이것이 우리가 가장 관심을 갖는 부분입니다.

역자 주: 사후 확률은 일반적으로 우도 값에 이전 값을 곱한 값과 같습니다. 그것은 세상에 대한 우리의 내면적 이해입니다.

확률 데이터 P(m)는 특정 데이터 포인트가 측정될 확률을 나타냅니다. 이 예에서는 이것이 상수이고 측정 자체가 편향되지 않는다고 가정합니다.

완벽한 불가지론자에게 이것은 특별히 나쁜 것은 아니며 결과에 대해 어떤 가정도 할 필요가 없습니다. 예를 들어, 이 예에서는 Reign의 체중이 13파운드, 1파운드 또는 1,000,000파운드라고 가정하더라도 데이터가 그 자체로 말해줍니다. 먼저 균일한 사전 확률, 즉 확률 분포가 모든 값에 대해 일정한 값을 갖는다고 가정합니다. 베이즈 정리는 P(w | m) = P(m | w)로 단순화될 수 있습니다.

이 시점에서 Reign의 가능한 각 가중치를 사용하여 세 가지 측정의 가능성을 계산합니다. 예를 들어, 눈금자의 무게가 1,000파운드라면 극단적인 측정은 불가능합니다. 그러나 현재 체중이 14파운드 또는 16파운드인 경우. 우리는 그것들을 모두 반복하고 Reign의 각 가상 가중치를 사용하여 측정 가능성을 계산할 수 있습니다. 이는 P(m | w)입니다. 이 균일한 사전 확률 덕분에 사후 확률 분포 P(w | m)와 동일합니다.

이것은 우연이 아닙니다. 평균, 표준편차, 표준편차를 통해 구하는데, 답과 매우 유사합니다. 실제로, 전통적인 통계 추정 결과를 제공하기 위해 균일한 사전 확률을 사용한다는 점에서 동일합니다. 피크의 곡선 위치, 평균 15.2파운드를 가중치의 최대 우도 추정치(MLE)라고도 합니다.

베이즈 정리를 적용하더라도 여전히 유용한 추정과는 거리가 멀습니다. 이를 위해서는 균일하지 않은 사전 확률이 필요합니다. 사전 분포는 측정 없이 무언가에 대한 인식을 나타냅니다. 균일한 사전 확률은 가능한 모든 결과가 동일하고 일반적으로 드물다고 가정합니다. 측정할 때 이미 특정 수량에 대해 어느 정도 이해하고 있습니다. 나이는 항상 0보다 크고 온도는 항상 섭씨 -276도보다 큽니다. 성인의 키가 8피트를 넘는 경우는 거의 없습니다. 때로는 추가 도메인 지식이 있고 일부 값이 다른 값 사이에 나타날 가능성이 높습니다.

레인의 경우 다른 정보도 있어요. 나는 그가 마지막으로 동물병원에서 몸무게를 쟀을 때 몸무게가 14.2파운드였다는 것을 알고 있습니다. 나는 또한 내 팔이 특별히 체중에 민감하지 않더라도 그것이 나를 특별히 뚱뚱하거나 가늘게 보이게 만들지 않는다는 것을 알고 있습니다. 이러한 이유로 무게는 약 14.2파운드(1~2파운드 정도)입니다. 이를 위해 14.2파운드의 최고값을 선택합니다. 표준편차가 0.5파운드인 정규분포입니다.

사전 확률이 준비되었으므로 사후 확률 계산을 반복합니다. 이를 위해 Reign의 체중이 17파운드와 같은 특정 값일 확률을 고려합니다. 다음으로 17파운드의 우도에 측정값이 17이 되는 조건부 확률을 곱합니다. 그런 다음 다른 가능한 가중치에 대해 이 과정을 반복합니다. 사전 확률의 기능은 일부 확률을 줄이고 다른 확률을 확장하는 것입니다. 이 예에서는 13-15파운드 범위에서 더 많은 측정값이 추가되고 다른 범위에서는 더 많은 측정값이 뺍니다. 이는 대통령의 실제 체중이 17파운드일 적절한 확률을 제공하는 균일 사전 확률과 다릅니다. 균일하지 않은 사전 확률을 사용하면 17파운드가 분포의 꼬리에 속합니다. 이 확률 값을 곱하면 체중이 17파운드 낮아질 가능성이 높아집니다.

가능한 모든 가중치를 지배할 확률을 계산하여 새로운 사후 확률을 얻습니다. 사후 확률 분포의 피크는 최대 사후 확률(MAP)이라고도 하며, 이 경우 14.1파운드입니다. 이는 균일한 사전 확률과 크게 다릅니다. 이 피크는 더 좁아서 더 신뢰할 수 있는 추정을 하는 데 도움이 됩니다. 지금 보면 강아지의 몸무게는 크게 변하지 않았고, 크기도 예전과 똑같습니다.

기존 측정 지식을 활용하여 다른 방법보다 더 신뢰할 수 있는 더 정확한 추정을 할 수 있습니다. 이는 작은 데이터 세트를 더 잘 활용하는 데 도움이 됩니다. 사전 확률은 17.5파운드의 측정값에 상대적으로 낮은 확률을 할당합니다. 이는 정상으로부터의 편차를 측정하는 것과 거의 동일합니다. 직관 및 상식적인 이상 탐지 방법과 달리 베이즈 정리는 수학적 방법을 사용하여 이상을 탐지하는 데 도움이 됩니다.

또한 P(m) 항은 균일하다고 가정하지만 가중치에 어느 정도 편향이 있다는 것을 알고 있으며 이는 P(m)에 반영됩니다. 계량에서 특정 숫자만 출력되거나 전체 시간의 10%에 해당하는 2.0의 판독값이 반환되거나 세 번째 시도에서 임의의 측정 값이 생성되는 경우 P(m)을 수동으로 수정하여 이러한 현상을 반영해야 합니다. 나중에 사용할 수 있습니다. 실험적 확률이 더 정확합니다.

베이지안 함정 피하기

Reign의 진정한 중요성을 살펴보면 베이지안의 장점이 반영됩니다. 그러나 몇 가지 함정이 있습니다. 우리는 몇 가지 가정을 하여 추정치를 개선하며, 무언가를 측정하는 목적은 그것을 이해하는 것입니다. 답변에 대해 알고 있다고 가정하는 경우 이 데이터를 수정할 수 있습니다. Mark Twain은 강력한 사전 가정의 위험성에 대해 "당신을 문제에 빠뜨리는 것은 당신이 모르는 것이 아니라, 당신이 알고 있는 것이 사실인 것처럼 보인다"라고 간결하게 설명했습니다. , Reign의 몸무게가 13~15파운드이고 실제 몸무게가 12.5파운드라면 우리는 이를 감지할 수 없습니다. 사전 지식에 따르면 이 결과가 나올 확률은 0입니다. 측정 횟수에 관계없이 13파운드 미만의 측정 값은 유효하지 않은 것으로 간주됩니다.

다행히 베팅을 헤지하고 이러한 맹목적인 삭제를 피할 수 있는 방법이 있습니다. 각 결과에 최소한 작은 확률을 할당하고 물리학 분야의 기발한 아이디어의 도움으로 정부의 무게가 실제로 1,000파운드에 달할 수 있다면 우리가 수집하는 측정 값도 사후 확률에 반영될 수 있습니다. 이것이 정규분포가 사전 확률로 사용되는 이유 중 하나입니다. 이 분포는 우리 지식의 대부분을 작은 결과 집합에 집중합니다. 아무리 확장해도 꼬리가 아무리 길어도 결코 0이 되지 않습니다.

여기서 하트여왕이 좋은 예이다.

앨리스는 "노력해도 소용없다. 존재하지 않는 것은 아무도 믿지 않을 것이다"라고 웃었다. p>

여왕은 "연습을 많이 안 했을 것 같다"며 "어렸을 때 하루 중 한 시간 반은 눈을 감고 심호흡을 했다.

그 이유는 때때로 아침 식사 전에 여섯 가지 불가능 사항이 있다는 것을 깨닫기 때문입니다.

"루이스 캐롤의 "이상한 나라의 앨리스"에서