고등학교 수학 사상과 논리: 1 1 수학 사고 방법 요약 및 사례 설명

변환 과정에서 다음과 같은 세 가지 원칙을 따라야 합니다.

1, 친숙성 원칙, 익숙하지 않은 문제를 익숙한 문제로 전환

2, 단순화 원칙, 즉 복잡한 문제를 간단한 문제로 바꾸는 것입니다.

3, 시각화의 원칙, 즉 추상화는 항상 구체적입니다.

전략 1: 역방향 전환

명제의 제목과 결론은 인과 관계의 변증 통일이다. 문제를 해결할 때, 사고가 아래에서 막히면, 우리는 그 앞에서 시작하여 거꾸로 생각할 수도 있고, 종종 또 다른 지름길이 있을 수도 있다.

예 1: 사면체 각 변의 정점과 중간점에는 * *10 개의 점이 있습니다. 그 중 * * * 면이 아닌 점 4 개를 선택하고 * * 면을 취하면 _ _ _ _ _ _ 이 있습니다

A, 150 B, 147 C, 144 D, 14 1

분석: 문제는 정면에서 보면 비교적 복잡하다. 이면에서 고려한다면 보집 사상을 활용하기 전에 네 개의 * * * 면의 총수를 구하는 것이 훨씬 쉬울 것이다.

10 개 점 중 임의의 4 개 점을 선택하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 평면 ABC 의 6 개 점 중 4 개 점은 * * * 평면입니다. 마찬가지로 다른 3 개 평면에도 여러 가지가 있으며 각 모서리의 중간점과 모서리에도 6 개의 * * * 평면이 있습니다

전략 2: 로컬에서 전체로의 전환

점진적으로 문제를 분석하는 것은 흔히 볼 수 있는 사고 방식이지만, 더 복잡한 수학 문제에 대해서는 전반적으로 사물을 파악해야지, 세부 사항에 얽매이지 말고, 시스템에서 문제를 분석해야지, 혼자 싸우지 마라.

예 2: 사면체의 모든 가장자리가 같고 네 정점이 모두 같은 구에 있는 경우 이 구의 표면적은 () 입니다.

갑, 을, 병, 정,

해석: 정사면체의 외접구 특성을 이용하여 직각 삼각형 해석을 구성하면 과정이 길고 오류가 발생하기 쉽다. 그러나 정사면체가 입방체를 보충하면 정사면체의 중심과 입방체의 중심과 외접구의 구는 * * * 입니다. 정사면체의 변길이는 입방체의 변길이는 1 이기 때문에 외접구의 반지름은 (A) 를 선택해야 합니다.

정책 3: 알 수 없는 것을 알려진 것으로 변환

비유전환이라고도 하는 것은 지식 이전 능력을 키우는 중요한 학습 방법이다. 제목에 알려진 핵심 정보를 포착하고 유사성을 잠그고 교묘하게 유추 전환을 할 수 있다면 답이 나올 것이다.

예 3: 등차 수열에서, 그렇다면 등식이 있다.

(hold, 위의 특성을 비유합니다. 기하학적 계열에는 공식 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 이 있습니다.

해석: 등차수열의, 반드시 존재해야 하기 때문에 기하 급수와 비유가 있다. 왜냐하면 성립되기 때문이다.

둘째, 논리적 구분에 대한 생각

예 1, 알려진 집합 A=, B=, B A 인 경우 실제 수 a 의 값 모음입니다.

솔루션 A=: 두 가지 상황에서 논의합니다.

(1) b = \ 65504; 여기서 a = 0；;

(2)B 는 단항 집합이고 B= 입니다. 이 시점에서 두 가지 상황에서 논의됩니다.

(i) B={- 1}, 그럼 =- 1, a=- 1.

(ii)B={ 1}, 예 = 1, a= 1. (2 차 분류)

위의 요구 사항을 종합하여 로 설정하다.

예 2 함수 f(x)=ax -2x+2 를 설정하여 1? X? 4 의 모든 x 값에는 f(x) 가 있습니까? 0, 실제 수 a 의 값 범위입니다.

예 3, 알고 있습니다. 크기를 비교해 보십시오.

분석

그래서 우리는 이 문제를 해결하기 위해 반드시 분류해서 토론해야 한다는 것을 알 수 있다. 그것의 분계점은.

요약: 분류 토론의 일반적인 단계:

(1) 개체 및 개체 P 의 범위 (즉, 논의할 매개 변수) 를 명확하게 논의합니다.

(2) 분류 기준을 결정하고, P 를 합리적으로 나누고, 기준을 통일하고, 누설하지 않고, 단계적으로 논의해서는 안 된다.

(3) 하나씩 논의하고 단계적 결과를 얻으십시오.

(4) 요약, 포괄적 인 결론에 도달했습니다.

11 가지 수학적 사고 방법의 요약과 설명

수학적 사고는 인간의 의식에 반영된 현실 세계의 공간 형식과 수량 관계를 가리키며 사고 활동의 결과이다. 수학 사상은 수학 사실과 이론을 개괄한 후의 본질에 대한 인식이다. 기초 수학 사상은 기초 수학에 반영되거나 반영되어야 하는 기초성, 총결산성, 가장 광범위한 수학 사상이다. 그것들은 전통 수학 사상의 정수와 현대 수학 사상의 기본 특징을 포함하고 있으며, 역사의 발전이다. 수학적 사고의 배양을 통해 수학의 능력이 크게 향상될 것이다. 수학 사상을 장악하는 것은 수학의 본질을 장악하는 것이다.

1, 함수 방정식의 생각

함수사상은 함수의 개념과 성질로 문제를 분석, 개조 및 해결하는 것을 말한다. 방정식의 사상은 문제의 수량 관계부터 시작하여 수학 언어로 문제의 조건을 수학 모델 (방정식, 부등식 또는 방정식과 부등식의 혼합 그룹) 으로 변환한 다음 방정식 (그룹) 또는 부등식 (그룹) 을 풀어 문제를 해결하는 것이다. 때로는 함수와 방정식이 서로 변환되어 서로 연결되어 있어야 문제를 풀 수 있는 목적을 달성할 수 있다.

데카르트의 방정식 사상은: 실제 문제? 수학 문제? 대수학 문제? 방정식 문제. 우주는 평등과 불평등으로 가득 차 있다. 우리는 방정식이 있는 곳과 방정식이 있는 곳을 안다. 공식이 있는 곳에는 방정식이 있다. 평가 문제는 방정식을 푸는 등 달성된다. 부등식 문제도 방정식이 가까운 친척과 밀접한 관계가 있다. 열 방정식, 방정식 풀기, 방정식의 특성 연구는 모두 방정식 사상을 적용할 때 중요한 고려 요소이다.

함수는 자연계에서 수량 간의 관계를 설명하고, 함수 사상은 문제의 수학적 특징을 제시하여 함수 관계의 수학적 모델을 만들어 연구를 전개한다. "연결과 변화" 의 변증 유물주의 관점을 구현했다. 함수의 사상은 일반적으로 함수의 성질 생성자를 이용하여 문제를 해결하는 것이다. 일반적으로 단조로움, 패리티, 주기성, 최대 최소값, 이미지 변환 등이 있다. 1 차 함수, 2 차 함수, 힘 함수, 지수 함수, 대수 함수, 삼각 함수의 구체적인 특징을 파악해야 합니다. 문제 해결에서 함수 사상을 활용하고, 문제에서 함축된 조건을 발굴하는 데 능숙하며, 해상도 함수와 교묘한 함수의 성격을 구성하는 것이 관건이다. 주어진 문제에 대해 심도 있고, 충분하고, 전면적인 관찰, 분석, 판단을 해야 비로소 서로의 관계를 형성하고 기능 원형을 만들 수 있다. 또한 방정식 문제, 부등식 문제, 집합 문제, 수열 문제, 일부 대수학 문제도 관련 함수문제로 전환될 수 있으며, 즉 함수적인 사상으로 비함수적 문제를 해결할 수 있다.

함수지식은 지식점이 많고 범위가 넓으며 개념, 응용, 이해에 모두 일정한 요구 사항이 있기 때문에 수능의 중점이다. 우리가 함수 사상을 사용하는 일반적인 몇 가지 유형의 문제는 다음과 같습니다. 변수가 발생할 때 함수 관계를 구성하여 문제를 푸는 것입니다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 함수명언) 함수의 관점에서 부등식, 방정식, 최소값, 최대값 등의 문제를 분석합니다. 다변수의 수학 문제에서 적절한 주 변수를 선택하여 둘 사이의 함수 관계를 표시합니다. 실제 응용 문제, 수학 언어로 번역, 수학 모형 및 함수 관계 구축, 함수 특성 또는 부등식 적용 등의 지식 해결 산수, 기하 급수, 통항 공식, 상위 N 개 항목의 합계 공식은 모두 N 의 함수로 볼 수 있으며, 수열의 문제도 함수법으로 해결할 수 있다.

2. 숫자와 모양의 결합.

"숫자는 보이지 않고, 그다지 직관적이지 않고, 모양이 무수하여 세밀하기 어렵다" 며, "수형 결합" 의 사용은 연구해야 할 문제를 어렵고 간단하게 만들 수 있다. 대수와 기하학을 결합하다. 예를 들면 대수학 방법으로 기하학 문제를 해결하고 기하학으로 대수학 문제를 해결하는 것이 기하학을 분석하는 데 가장 일반적으로 사용되는 방법이다. 예를 들어 루트 ((A- 1)2+(B- 1)2)+ 루트 (a2+(b-1) 2 를 찾습니다

3. 분류 토론 아이디어

어떤 문제가 어떤 양이나 숫자의 상황에 따라 다른 결과를 초래할 수 있을 때, 그 양이나 숫자의 다양한 상황을 분류해서 토론해야 한다. 예를 들어 부등식을 풀다 | a-1| >; 4, a 의 가치를 범주별로 논의 할 필요가 있습니다.

4. 등식 사고

문제가 방정식과 관련될 수 있을 때, 우리는 방정식을 구성하고 그 성질을 연구하여 이 문제를 해결할 수 있다. 예를 들어, 코시 부등식을 증명할 때 코시 부등식은 2 차 방정식의 판별식으로 전환될 수 있다.

5, 전반적인 아이디어

문제의 전반적인 성격에서 시작하여, 문제의 전체 구조에 대한 분석과 전환을 강조하고, 문제의 전체 구조적 특징을 찾아내며,' 전체' 의 안목을 이용하여 일부 공식이나 도형을 전체로 보고, 그것들 사이의 관계를 파악하고, 목적이 있고 의식적인 전체 처리를 하는 데 능숙하다. 전체 사고 방법은 대수학 표현식의 단순화 및 평가, 방정식 (그룹), 형상 증명 등에 광범위하게 적용됩니다. 전체 교체, 중첩 곱셈, 전체 연산, 전체 논증, 전체 처리, 기하학 보완 등은 모두 전체 사고 방법이 수학 문제를 해결하는 데 사용되는 구체적 응용이다.

6, 사상으로 돌아가다

연역과 귀납을 통해 미지의, 낯선, 복잡한 문제를 알려진, 익숙한, 간단한 문제로 바꾸는 것이다. 고대 수학의 삼각 함수, 기하학적 변환, 인수 분해, 분석 기하학, 미적분학, 심지어 자 매핑 등 수학 이론도 변환의 사상에 스며들고 있다. 일반적인 변환 방법에는 일반 특수 변환, 등가 변환, 복잡한 단순 변환, 숫자 변환, 구조 변환, 연관 변환, 아날로그 변환 등이 있습니다.

전환사고는 좁은 의미의 전환사고라고도 할 수 있다. 전환의 사상은 어떤 전환 수단을 통해 해결되거나 해결하기 어려운 문제 A 를 고정 해결 방법이나 쉽게 해결할 수 있는 문제 B 로 전환하여 문제 B 를 해결함으로써 문제 A 를 해결하는 것이다. .....

7. 암묵적 조건 사고

명확한 설명은 없지만, 기존의 명확한 표현에서 추론할 수 있는 조건이나 명확한 설명은 없지만 조건은 루틴이나 진리이다. 예를 들어 이등변 삼각형에서 한 세그먼트는 맨 아래 모서리에 수직이므로 세그먼트가 있는 선도 맨 아래 모서리와 정점을 똑같이 나눕니다.

8, 유추 사고

두 개 (또는 두 개) 의 서로 다른 수학 객체를 비교하고, 어떤 면에서 동일하거나 비슷한 점을 발견하면, 다른 방면에서도 동일하거나 비슷한 점을 가질 수 있다고 추론한다.

9. 모델링 사상

좀 더 과학적이고, 논리적이고, 객관적이고, 반복적으로 실제 현상을 묘사하기 위해, 사람들은 보편적으로 엄밀하다고 생각하는 언어를 사용하여 각종 현상을 묘사한다. 이 언어는 수학이다. 수학 언어로 묘사된 것을 수학 모형이라고 합니다. 때때로 우리는 몇 가지 실험을 해야 하지만, 이러한 실험은 종종 추상적인 수학 모형을 실제 물체의 대안으로 사용하여 상응하는 실험을 한다. 실험 자체도 실제 조작에 대한 이론적 대체이다.

10, 귀납적 추리 사상

어떤 종류의 사물의 어떤 대상에는 어떤 특징이 있는데, 이런 사물의 모든 대상은 이러한 특징의 추론을 가지고 있거나, 개별 사실에서 일반적인 결론을 요약한 추론을 귀납추리 (귀납법) 라고 한다. 요컨대 귀납적 추리는 부분부터 전체까지, 개별부터 일반까지 추리하는 것이다.

확률 통계와 같은 수학적 사고도 있습니다. 예를 들어 확률 통계는 복권 당첨률, 시험 종합 분석 등 확률 통계를 통해 실제 문제를 해결하는 것을 의미합니다. 또 일부 면적 문제는 확률 방법으로 해결할 수 있다.

예를 하나 들어보죠. 그림에는 양쪽에 수직이 될 수 있는 각도 이등분선이 있다.

그림을 반으로 볼 수도 있고, 대칭을 보면 관계가 생길 수도 있다.

각이등분선 평행선, 이등변 삼각형 추가.

각도 이등분선에 수직선을 더하고, 세 줄을 한 번 시험해 보세요.

수직 이등분선은 일반적으로 선의 양쪽 끝을 연결하는 선 세그먼트입니다.

세그먼트가 양반이라는 것을 증명해야 하며 연장과 단축을 테스트할 수 있습니다.

삼각형의 두 중간점이 연결되어 하나의 중앙선을 형성한다.

삼각형에는 중앙선이 하나 있고, 중앙선은 뻗어 있다.

평행사변형이 나타나고 대칭 중심이 점을 이등분합니다.

사다리꼴 안에 높은 선을 만들고, 가능한 한 허리를 초점이동하세요.

대각선을 평행으로 이동하고 삼각형을 구성하는 것이 일반적입니다.

카드도 비슷하고, 세그먼트와 평행하고, 선을 긋는 것이 습관이다.

등적 공식의 축척 변환에서 선 세그먼트를 구하는 것은 매우 중요하다.

직접 증명은 비교적 어렵고, 동등한 교체는 비교적 번거롭지 않다.

경사진 가장자리 위에 높은 선을 하나 만들었는데, 비례중 항목이 크다.

반지름 현 길이 계산, 현 중심에서 중간 역까지의 거리.

원에 모든 선이 있는 경우 접선 중심의 반지름이 연결됩니다.

피타고라스 정리는 접선 길이 계산에 가장 편리하다.

탄젠트임을 증명하기 위해 반지름 수직선을 자세히 구분하십시오.

지름, 반원형으로 직각으로 연결된 현입니다.

호에는 중간점이 있고, 중심점이 있으며, 수직 지름 정리는 완전함을 기억해야 한다.

원의 모서리에는 두 개의 현이 있고, 현의 양쪽 끝 지름은 연결되어 있다.

접선현, 동호 대각선 등을 구하다.

만약 네가 외접원을 그리고 싶다면 양쪽에 가운데 수직선을 그려라.

내접원, 내각 이등분선의 꿈의 원을 만들어야 한다.

교차된 원을 만나면 현으로 만드는 것을 잊지 마세요.

내부와 외부에 접하는 두 원은 접점의 공통 접선을 통과합니다.

연결선을 추가하는 경우 접선이 연결선 위에 있어야 합니다.

등각에 원을 하나 더하면 문제가 그렇게 어렵지 않다는 것을 증명할 수 있다.

안내선은 점선이므로 그릴 때 바꾸지 않도록 주의하세요.

그래픽이 분산되어 있는 경우 대칭 회전을 실험합니다.

기초 그림은 매우 중요하니 능숙하게 익혀야 한다.

너는 문제 해결에 더 많은 주의를 기울여야 하고, 늘 방법을 분명하게 요약해야 한다.

맹목적으로 선을 긋지 말고, 방법은 유연하고 변화무쌍해야 한다.

분석과 종합 방법 선택, 아무리 많은 어려움도 줄어든다.

겸허하게 열심히 공부하고 열심히 연습하면 성적이 직선 상승할 것이다.

1 1, 극단적인 사상

한계의 사상은 미적분학의 기본 사상이다. 함수의 연속성, 도수, 정적분 등 수학 분석에서 일련의 중요한 개념은 모두 한계로 정의된다. "수학 분석의 주제는 무엇입니까? 클릭합니다 그럼 한마디로' 수학분석은 극한사상으로 함수를 연구하는 학과' 라고 할 수 있다.