수학과 철학의 관계에 관한 논문의 예를 간단히 이야기하다?

수학 철학에서 직관주의는 현대 학술 사상의 혁명을 불러일으켰다고 할 수 있다. 수학과 철학의 관계 중 하나는 사람들이 이야기하는 문제이다. 다음은 제가 정리한 수학과 철학의 논문에 관한 자료입니다. 독서를 환영합니다! 수학과 철학의 논문편 < P > 요약: 수학철학에서 직관주의는 현대 학술사상의 혁명을 불러일으켰다고 할 수 있다. 직감주의는 칸트, 심지어 플라톤까지 거슬러 올라갈 수 있지만. 그러나, 그것은 근현대적이고, 2 세기 전 2 년 동안 독립적인 수학 철학 사조로 유명하다. 그것은 논리학 철학 중 한 차례의 폭풍 역습으로 고전 수학의 유력한 도전자이다. 직감주의는' 구조' 를 강조하고' 정신' 에서 출발한다. 직감주의는 전체 자연수론을 전체 수학의 기초로 간주하고, 직감주의는 배중법과 반증률을 거부하고, * * * 실제는 무궁무진하고, 잠재무궁무진함을 추앙한다. 컴퓨터의 출현과 발전에 따라 직관주의는 디지털 구조에서 적극적인 응용을 하였다. 동시에 직관주의는 수학 철학의 혁신 교육 등에 무시할 수 없는 영향을 미친다. < P > 키워드: 수학 철학 직관주의 전통 논리 브라우웰 < P > 1, "존재는 반드시 구조화되어야 한다"-직관주의의 생성

직감 intuition 이라는 단어는 충분한 논리가 없는 추리, 직관적, 사물의 본질을 직접 가리는 사고를 의미한다. H. 퍼거슨, B. 크로지, E. 후젤 등의 직관주의와는 달리, 우리가 여기서 연구하는' 직감' 은 주체가 객관적인 사물에 대한 직접적인 파악 능력이 아니라 사고의 본능적인 정신 활동을 가리킨다. 여기서 직감주의가 제창하는 직감은 변증유물주의의' 직관적인 느낌' 이 아니라' 선험적 정신 구조' 를 출발점으로 수학 물체' 존재성' 과' 구성성' 에 대한 요구를 형성했다. [1] 직관주의 철학은 반이성주의의 유심주의 철학 사조이다. 수학 연구의 구조주의는 자연수와 그 어떤 법칙과 방법, 특히 수학 귀납법은 믿을 만한 출발점이며, 다른 모든 수학 물체와 이론은 자연수에서 만들어져야 한다고 주장하는 수학적 기초에 관한 관점이다. [2]' 존재는 반드시 구조되어야 한다' 는 것은 직관주의자의 가장 유명한 구호이다. 그래서 직관주의는 일종의 구조논리입니다. 직감파는 수학의 개념과 방법이 모두 구조될 수 있어야 하며, 비구조적 증명은 직관주의자가 받아들일 수 있는 것이 아니라고 생각한다. 수학 분야에서는 * * * 역설에 대한 문제가 기존 수학에 대한 지역적 수정과 제한을 통해 해결될 수 없으며, 믿을 만한 기준에 따라 기존 수학을 전면적으로 검토하고 개조해야 한다. 직감주의는 논리가 수학보다는 수학에 의존한다고 생각한다. 수학은 직관을 바탕으로 합니다. 동시에, 직감주의는 철학, 논리, 심지어 수 등의 개념이 수학보다 훨씬 복잡하다고 생각하는데, 수학의 기초가 될 수 없고, 수학의 기초는 더 간단하고 직접적인 개념이 필요하다고 생각한다. 바로 직감이다. 직감은 마음의 기본 기능이다. [3] 한 직관주의 수학자 아렌트 하이틴 애런드 헤이팅은 그의 논문' 수학의 직관주의 기초' 에서 "수학의 구조를 즉시 처리하는 것은 직관주의자의 긍정적인 태도에 부합할 것 같다" 고 지적했다. 이 구조의 가장 중요한 초석은 정수 시퀀스가 의존하는 구성 원칙인 유니티의 개념이다. 정수는 units 단위로 보아야 하며, 이러한 단위는 이 시퀀스에서의 위치로 인해 서로 구별됩니다. " [4]61

직관주의자들은 수학의 기초가 수학적 직관에 있다고 생각하는데, 그들의 의견으로는 수학적 직관에 기초한 이론은 "개념과 추리가 우리 앞에 분명하게 드러날 수 있다" 며 "사상적으로는 그렇게 직접적이고 그 결과는 너무 명확해서 더 이상 어떤 주조의 기초도 필요하지 않다" 고 생각한다. 모든 수학 물체는 사고 구조의 산물로 간주되므로 한 물체의 존재성은 그 구조의 가능성과 같다. 이것은 고전적인 방법과는 다르다. 고전적인 방법은 하나의 실체의 존재를 부정함으로써 증명할 수 있다는 것이다. 직관주의자에게 이것은 옳지 않다. 존재성의 부정은 존재의 구조적 증거를 찾을 수 있다는 것을 의미하지 않는다. 그렇기 때문에 직관주의는 수학 구조주의의 일종이다. 그러나 그것은 유일한 부류가 아니다. 직관주의의 기본 철학적 입장은 수학이 인간의 정신' 고유' 의 창조활동이며, 주체의 활동이지 대외적인 묘사가 아니라는 것이다. 수학 개념은 자율적인 지능 활동의 결과이고, 지능 활동은 자명한 법칙이 지배하는 사상 구조를 연구하는 것이다. [5]

둘째, 전통적인 논리를 뒤엎고, * * * * 의 역습-직관주의의 특징 < P > 직관주의는 실제의 무궁무진함을 인정하지 않고 실제의 무궁무진한 추상화를 거부한다. 즉, 모든 자연수의 * * * 또는 임의의 합리적인 수의 시퀀스와 같은 무한 솔리드를 주어진 개체로 고려하지 않습니다. 수학적으로 무한한 사상은 무한한 전체 자체를 기성 단위로 만드는 것, 즉 무한한 물체를 스스로 완성할 수 있는 과정이나 무한한 전체로 보는 것이다. 수학에는 잠재무궁무진과 실무궁무진한 다툼이 있다. 마치 철학적으로 유물주의와 유심주의 다툼이 존재하는 것과 같다. 그리고 오랜 기간 계속되는 논쟁이 그치지 않을 것이다. 수학적으로 잠재무궁무진한 사상은 무한함을 영원히 뻗어나가는 것으로 보는 것, 끊임없이 생겨나는 것으로 해석하는 것을 말한다. 예를 들어, 직선을 구성하는 점들은 끝이 없고, 이 직선은 영원히 뻗어 있으며, 끝이 없는 날이 없다는 것이다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 지혜명언) 그것은 영원히 구조에 처해 있고, 영원히 완성할 수 없고, 실제가 아니라 잠재적인 것이다. 전체 이름과 조건 양사의 표준 직관주의에 따르면, 한 가지 증명은 바로 이런 잠재무한 구조라는 것이 합리적일 수 있다. 다미트의' 직관주의 논리의 철학적 기초' [4]142 이 견해에 따르면 모든 자연수는 하나의 * * * 를 구성할 수 있다. 모든 자연수를 완성의 무궁한 전체로 볼 수 있기 때문이다. 분명히 직감주의는 무한한 관점, 즉 무한한 * * * < P > 직관주의는 배중법에 반대한다. 이는 직관주의자가 고전적인 수학자와 수학 명제의 의미에 대해 서로 다른 이해를 가질 수 있다는 것을 의미한다. 배중률과 동일성, 모순율, 그리고 형식 논리의 세 가지 기본 법칙이라고 불린다. 전통적인 논리는 먼저 배중법을 사물의 법칙으로 여기는데, 이는 어떤 사물이 동시에 어떤 속성을 가지고 있거나 어떤 속성을 가지고 있지 않다는 것을 의미하며, 다른 가능성은 없다는 것을 의미한다. 배중법은 또한 사고의 법칙이기도 하다. 즉, 하나의 명제가 사실이거나 사실이 아니며, 그 외에는 다른 가능성이 없다. 예를 들어, A 또는 B 는 직감주의자에게 A 또는 B 가 증명할 수 있다고 주장합니다. 그러나 배중법, A 또는 비 A 에 대해서는 허용되지 않습니다. 왜냐하면 사람들이 항상 명제 A 또는 그 아니오 명제를 증명할 수 있다고 가정할 수 없기 때문입니다.

직관주의는 주로 * * * 에 대항한다. 여러 세기 동안 수학 법칙에 대한 빈틈없는 정확성에 대한 신념의 근거는 수학 철학 연구의 주요 대상이다. 직감주의는 정확도가 인간의 마음 속에 존재한다고 말한다. * * * 사람들은 종이 위에 존재한다고 생각한다. [4]9

직관주의는 비논리적이고 전체적이다. 수학 직감은 논리의 반대쪽으로 정립되는 인식 방법이므로 비논리성은 수학 직감의 가장 중요한 특징이다. 수학 직감의 다른 특징들은 모두 비논리적인 것으로 결정된다고 할 수 있는데, 이것은 많은 철학자, 과학자들의 * * * 같은 견해이다. [6] 직관주의는 수학은 마음의 창조 활동이고, 마음은 풍부하고, 논리는 빈약하다고 생각한다. 따라서 빈약한 논리 규칙으로 풍부한 심령 활동을 전면적으로 정확하게 계획해서는 안 된다. 직감주의의 또 다른 대표 인물인 아렌트? 헤이팅 앤 하이팅은 "논리는 응용수학에 속한다" 고 말했다. 직감주의 정체성에 대해 한 일본 수학자는 다음과 같은 정교한 해석을 가지고 있다. 한 사람이 이미 장기적이고 지속적으로 연구에 종사해 완전히 성숙한 연구가 되었을 때? A href='' target='_blank'> 기침펜? 그는 이미 자신의 머리 속에 비교적 안정된 지식 체계를 형성했다. 그 자신의 노력을 통해 이런 지식체계는 이미 특수하고 확실한 형식으로 통합되었다. 그리고 자신의 종합적인 일은 당연히 그 자체로 매우 가치 있는 경험이다. [7]

펑갈레는' 수학의 직관과 논리' 라는 글에서 < P > 철학자가 우리에게 순논리가 결코 우리에게 아무것도 얻지 못할 것이라고 말했다. 그것은 어떤 새로운 것도 창조할 수 없고, 어떤 과학도 그것으로부터 나올 수 없다. 어떤 종류의 지친 의미에서, 이 철학자들은 옳다. 산수를 형성하려면 기하학을 구성하거나 어떤 과학을 구성하는 것처럼 순수 논리 외에 다른 것이 필요하다. 이런 것을 부르기 위해서, 우리는 직감이라는 단어를 사용해야 한다. 그런데 이 같은 회칙 이후 얼마나 많은 다른 의미가 숨어 있을까? 이 네 가지 공리를 비교해 보십시오. 1 은 세 번째 가장 큰 두 양과 같습니다. 2 특정 로그 1 이 참이라면 n 에 대해 참이라고 가정하고 N+1 에 대해 참이라는 것을 증명하면 모든 정수에 대해 참입니다. 3 은 직선상에 있고, c 점은 a 와 b 사이에 있고, d 점은 a 와 c 사이에 있으며, d 점은 a 와 b 사이에 있습니다. 4 한 점을 통과하는 선은 알려진 선과 평행합니다. 이 네 가지 공리는 모두 직관에 귀속되지만, 첫 번째는 형식 논리의 법칙 중 하나를 천명한다. 두 번째는 엄격한 수학 귀납법의 기초인 진정한 선험적 종합 판단이다. 세 번째는 상상력에 의지합니다. 네 번째는 거짓 정의입니다. 직감은 감각 이해를 기반으로 할 필요가 없습니다. 곧 무력해질 것 같다. [8]

직관주의는 신비주의가 아니라는 점은 주목할 만하다. 직감의' 해명할 수 없다' 는 것은 직감의' 신비성' 을 의미하는 것이 아니다. 비록 직감은' 해석할 수 없다' 이지만, 그것은 확실한 본질을 가지고 있다. 우리는 직감이 인식 과정의 비약이라고 생각한다. 따라서 그것은 경험의 인식이 아니라, 원래의 사상 노선의 중단으로, 통상적인 사고방식에 따라 결론과 추리의 고리로 연결시킬 수 없기 때문에 직감은' 해석할 수 없다' 고 생각한다. [9]

3, Kant 에서 Dummett 까지, 직관주의자의 주요 인물과 그 사상 < P > 임마누르 칸트 Immanuel Kant, 1724-184, 어떤 의미에서 직관주의는 철학자 칸트로 시작된다 1755 년부터 177 년까지 칸트는 고네스버그 대학교에서 물리학과 수학을 가르쳤는데, 그는 우리의 모든 감정이 미리 가정된 외부 세계에서 나온 것이라고 생각했다. 이러한 감각은 어떤 지식도 제공할 수 없지만, 감지된 물체 간의 상호 작용으로 지식이 생겨났다. 마음은 이러한 감정을 분명하게 빗어 내고 공간과 시간에 대한 직관을 얻는다. 칸트는 감성 직감에는 두 가지 순수한 형태가 있는데, 그것들은 선천적인 지식의 원칙이며, 이 두 가지 순수한 형태는 공간과 시간이라고 말했다. 공간은 외부 직관의 순수한 형태이고, 시간은 내부 직관의 순수한 형태이며, 모두 외부 경험에서 얻은 것이 아니라 필연적이고 선천적인 관념이다. (존 F. 케네디, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 시간명언) 공간과 시간은 객관적으로 존재하는 것이 아니라 마음의 창작이다. 마음은 경험을 이해하고, 경험은 마음을 일깨운다. 칸트의 사상은 직관주의의 그림자를 가지고 있지만, 여전히 직관적으로 직관주의를 제기하지 않고 있으며, 수학의 기초적인 방법으로 볼 때 직관주의는 현대적이다. [1]

헨리 펑갈레는 종종 푸앵카레, 헨리 Poincare, 1854-1912, 현대 문맥의 수학 직관주의의 선구자로 번역된다. 후세 사람들은 수학 철학과 당대 수학 직관주의 사이의 다리로 평가되었다. 논리주의의 수학 기초에 대한 이해는 허황된 것이다. 그것은 수학의 기초를 잃게 한다. 그러나 수학의 기초는 존재한다. 그것이 바로 우리의 직감이다. 그것은 수학에 의미를 부여하고, 수학에 물건을 준다. Penggarella 는 원래 인간의 정신과 수학의 존재 사이에 놓인 다리를 지적했다. 그것이 바로 우리의 수학적 직감이다. [11] 펜갈레는 자연수가 가장 기본적인 직감이라고 주장하며, 수학 귀납법은 직관적인 사고 방식이며, 단순히 논리로 귀결될 수 없다고 주장한다. 그는 한정된 단어로 정의할 수 있는 개념을 주장하고 수학 물체의 구성성을 주장한다. 그는 또 다른 의미에서 수학적 직관을 이해하고 강조하며 선택과 발명의 도구로 본다. 펑갈레는 우리가 여러 가지 직감을 가지고 있다고 생각한다. 그러나 가장 중요한 것은 두 가지 범주로 귀결될 수 있다. 하나는' 순수한 직감', 즉 그가 흔히 말하는' 순수한 수의 직감',' 순수한 논리적 형태의 직감',' 수학 순서의 직감' 등이다. 이는 주로 분석가의 직관이다. 두 번째는 "감지 가능한 직감" 입니다. 즉, 상상력은 주로 기하학자의 "모양" 직감입니다. 이 두 가지 직관에 대해 그는 모두 필요하다고 생각하며 각자 다른 역할을 하고 있다. 그는 이 두 가지 직관이 "우리 마음의 두 가지 다른 본능을 발휘하는 것 같다" 며 "낯선 사람들이 두 세계를 오가도록 유도하는 탐조등 두 개" 와 같다고 생각한다. [12]

브라우웰 L.E.J.Brouwer, 1881-1966, 직관주의의 진정한 창시자이자 창시자는 브라우웰이다. 브라우웰의 수학적 직관주의 입장은 그의 철학에서 비롯되었다. 197 년 그는 박사 논문' 수학 기초' 에서 직관주의적 관점을 제시했는데, 수학의 기초가 선험적 초기 직감이라고 생각한다. 수학은 머리에서 기원하고 생겨난 인간의 활동이며, 머리 밖에서는 존재하지 않기 때문에 현실 세계와는 별개이다. (존 F. 케네디, 공부명언) 브라우웰은 수학적 사고가 지적 구조의 과정이라고 생각하는데, 그것은 자신의 천지를 건설하고, 경험과 무관하며, 기본적인 수학적 직관에 기초해야 하는 제한을 받는다. (존 F. 케네디, 생각명언) [1] 브라우빌이 발표한' 수학의 기초' 는 직관주의의 입장이' 직감' 을 강조하는 것이라고 밝혔다. 이는 수학의 논리와 엄밀함을 부인하는 것이 아니라 직관, 영감, 창의력의 수학 내 지위를 강조하는 것이다. 직관주의자들은 수학이 가장 엄격한 과학일 뿐만 아니라 가장 창조적인 과학이라고 생각한다. 브라우빌은 수학의 기초가 선험적인 초기 직감이라고 생각했고, 그와 그의 학생들은 그들이 말하는 직관이 바로 인심이 자신이 구성한 것에 대한 명확한 이해라고 말했다. [13] 브라우빌은 칸트의 선험적 시공학설을 개정하여' 외직관의 순형식' 의 선험적 시공개념을 포기하고 비유럽 기하학의 발전에 적응했다. 풀은 수학의 기본 직관을' 내직관의 순형식' 의 선험적 시간 개념에 기초한다. [14] 브라우웰은 또한' 2 1 원칙' tow-oneness 를 제안했다. 그는 이것이 수학의 기본 직감이라고 생각한다. 즉, n 이 성립되었다고 가정하면 N+1 이 성립된다. 이 과정은 무한히 반복될 수 있고, 모든 유한 서수를 창조할 수 있다.' 2 1 원칙' 의 요소 중 하나가 새로운' 2 1 원칙' 으로 간주될 수 있기 때문이다. 브라우웰은 이 수학의 기본 직감에서 연합과 분리, 연속성, 이산이 통일되어 선형 연속계의 직감, 즉' 사이' 베트윈의 직감을 직접 끌어냈다고 생각한다. 브라우웰' 직관주의와 * * *' [4] 93

아렌트 헤이팅 Arend Heyting, 1898-198, 그는 브라우웨이다