π는 어떻게 왔습니까?

점수로 표현할 수 있는 모든 숫자는 유리수이고 무리수는 점수로 표시할 수 없다.

원주율 계산 과정

한설타오

원주율은 매우 유명한 숫자이다. 글이 기재된 이래로 이 수치는 문외한인과 학자의 흥미를 불러일으켰다. 원주율은 매우 중요한 상수로서, 처음에는 원의 계산 문제를 해결하는 데 사용되었다. 이를 바탕으로 가능한 정확하게 근사치를 얻는 것은 매우 시급한 문제입니다. 사실도 마찬가지다. 수천 년 동안 동서고금의 수학자들은 모두 이 목표에 지혜와 노동을 쏟아부었다. 역사를 돌이켜 보면, 인류가 파이를 인식하는 과정은 수학과 컴퓨팅 기술 발전의 한 측면을 반영한다. 에 대한 연구는 이 지역이나 시대의 수학 수준을 어느 정도 반영한다. 독일 수학사 칸토르는 "역사상 한 나라가 원주율을 계산하는 정확도는 당시 이 나라의 수학 발전 수준을 측정하는 지표로 사용될 수 있다" 고 말했다. 19 세기 초까지만 해도 원주율의 가치를 구하는 것은 수학적으로 가장 어려운 문제라고 할 수 있다. 원주율의 가치를 얻기 위해 인간은 길고 구불구불한 길을 걸었고, 그 역사는 흥미롭다. 우리는 이 계산 과정을 여러 단계로 나눌 수 있다.

실험시간

실험을 통해 π의 값을 추정하는 것이 π를 계산하는 첫 걸음이다. 이 추정치는 기본적으로 관찰 또는 실험을 기반으로 하며 원의 둘레와 지름의 실제 측정을 기반으로 합니다. 고대 세계에서 π = 3 이라는 값은 실제로 오랜 시간이 걸렸다. 최초의 문자 기록은 기독교' 성경' 의 한 장으로, 이 장에서 원주율은 3 으로 여겨진다. 이 묘사적인 사건은 기원전 950 년경에 발생했다. 바빌로니아, 인도, 중국 등 다른 나라들. , 일찌감치 3 의 거칠고 간단하며 실용적인 가치를 사용했다. 우리나라 유휘 이전에' 원 직경 1, 수요일' 이 널리 퍼졌다. 중국 최초의 무학 저작' 서정주편' 에는' 수요일 원 직경 1' 이라는 결론이 기재되어 있다. 우리나라에서 목수는' 3 주 직경 1, 정사각형 5, 경사 7' 이라는 두 가지 전세 공식을 가지고 있는데, 이는 지름이 1 인 원이 둘레가 약 3, 모서리 길이가 5 인 정사각형, 대각선 길이가 약 7 이라는 뜻이다. 이것은 초창기 사람들이 이 두 무리수에 대한 대략적인 추정을 반영한 것이다. 동한 시절 정부는 원주율이 3 을 면적 계산 기준으로 삼아야 한다고 명시했다. 나중에 사람들은 그것을' 고율' 이라고 불렀다.

초기 사람들도 다른 거친 방법을 사용했습니다. 예를 들어 고대 이집트와 고대 그리스에서는 낟알을 원 위에 놓고 낟알의 수와 정사각형의 수를 비교하여 수치를 얻었다. 또는 균형중량판으로 원과 정사각형으로 톱질하고 무게를 재어 수치를 비교하면 ... 그래서 좀 더 좋은 pi 값을 얻을 수 있습니다. 예를 들어 고대 이집트인들은 4 (8/9)2 = 3. 1605 로 약 4000 년을 썼다. 인도에서는 기원전 6 세기에 π= √ 10 = 3. 162 입니다. 중국 동서한의 교분, 신조 왕망 () 은 유신 () 에게 양기 () 인 루가 () 양호 () 를 하라고 명령했다. 유신은 표준 컨테이너를 만드는 과정에서 원주율의 값을 사용해야 한다. 이를 위해 그는 실험을 통해 원주율에 대한 비균일 근사치를 얻었다. 현재 비문을 근거로 계산한 수치는 각각 3. 1547, 3. 1992, 3. 1498, 3.438+0 으로 고대 수요일보다 인간 탐사 결과, 원전 면적을 주로 추정할 때 생산에 미치는 영향은 크지 않지만 그릇이나 기타 계산을 만들기에 적합하지 않다.

기하학적 방법 기간

직관적 추측이나 물리적 측정을 통해 값을 계산하는 실험 방법은 상당히 거칠다.

우선 아르키메데스는 원주율 계산을 과학적 근거로 삼았다. 그는 이 상수에 대한 과학적 연구를 처음으로 한 사람이었고, 먼저 측정 대신 수학 과정을 통해 π의 값을 임의의 정밀도로 정확하게 만들 수 있는 방법을 제시했다. 그래서 pi 계산의 두 번째 단계가 시작되었습니다.

원의 둘레는 내접 정사변형보다 크고 외접정사변형보다 작기 때문에 2 √ 2 < π < 4 입니다.

물론, 이것은 아주 나쁜 예입니다. 아르키메데스는 정96 각형으로 그의 사정거리를 계산했다고 한다.

아르키메데스가 원주율의 더 정확한 근사치를 찾는 방법은 그의 논문' 원의 확정' 에 반영되었다. 이 책에서 아르키메데스는 처음으로 상하계를 사용하여 π의 근사치를 정했다. 그는 "원의 둘레와 원의 지름의 비율이 3+( 1/7) 보다 3+( 10/7 1) 보다 작다" 고 기하학적으로 증명하고 오차를 제공했다 중요한 것은 이 방법이 이론적으로 더 정확한 원주율 값을 얻을 수 있다는 것이다. 기원 150 년경에는 그리스 천문학자 프톨레마이오스가 π = 3. 14 16 을 얻어 아르키메데스 이후 엄청난 발전을 이루었다.

포피 고리 절개. 피타고라스 정리를 사용하여 양의 n 자 모양의 모서리 길이를 계속 계산합니다.

중국에서는 수학자 유휘가 먼저 더 정확한 원주율을 얻었다. 서기 263 년경 유휘는 유명한 할거술을 제안하여 π = 3. 14 를 받았는데, 흔히' 휘장률' 이라고 불린다. 그는 이것이 근사치라고 지적했다. 그는 아르키메데스보다 원을 자르는 것이 늦었지만, 아르키메데스의 방법보다 더 아름다웠다. 링은 내접 정다각형을 이용하여 원주율의 상한과 하한을 결정할 뿐 아르키메데스가 내접정다각형과 외접정다각형을 모두 이용하는 것보다 훨씬 간단하다. 또 유휘가 할원술에서 멋진 정리 방법을 제공했다고 생각하는 사람들도 있어 단순 가중 평균을 통해 PI = 3927/1250 = 3.1416 을 얻었다 이 결과는 유휘 자신이 지적한 바와 같이, 이 결과가 원 컷으로 계산된다면 3072 개의 다각형으로 잘라야 한다. 이런 정리 방법의 효과는 매우 좋다. 이런 신기한 마무리 기술은 동그라미 컷의 가장 멋진 부분이지만, 사람들이 그것에 대한 이해가 부족하기 때문에 오랫동안 묻혀 있었다. (윌리엄 셰익스피어, 템페스트, 과학명언)

조충의 공헌은 아마 네가 더 익숙할 것이다. 이에 대해' 수서법기' 의 기록은 이렇게 기재되어 있다.' 송말, 남서주 () 가 조충을 하는 더 비법. 원 지름 1 억 원 높이, 주향풍수는 3 피트, 1 피트, 4 인치, 1 분, 5mm, 9 초, 7 초, 3 피트, 1 피트, 4 인치, 5mm, 9mm, 2 초, 6 초, 양수는 나머지와 두 한계 사이에 있다 밀도: 원 지름 1 13, 둘레 355. 비율에 관해서는 원 직경 7, 요일 22 입니다. 클릭합니다

이 기록은 조충이' 원주율' 에 두 가지 큰 기여를 했다고 지적했다. 첫째, 원주율을 구하다.

3.1415926 < π < 3.1415927

둘째, 파이의 두 가지 근사 점수를 얻습니다. 근사 비율은 22/7 입니다. 암호화율은 355/ 1 13 입니다.

그가 계산한 파이의 8 자리 신뢰할 수 있는 숫자는 당시 가장 정확한 원주율일 뿐만 아니라 900 여 년 동안 세계 기록을 유지했다. 그래서 수학 역사가들은 이 결과를' 조상률' 이라고 명명할 것을 제안했다.

이 결과는 어떻게 나왔습니까? 조상충이 이 비범한 성과를 거둘 수 있었던 것은 바로 유휘 시컨트 기법의 계승과 발전에 기반을 둔 것이다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 지혜명언) 그러므로 우리가 조충의 업적을 찬양할 때, 그의 업적은 유휘라는 위대한 수학인의 어깨에 서서 얻은 것임을 잊지 말아야 한다. 후세 사람들은 원에 내접한 다각형의 가장자리 길이를 계산하여 이 결과를 얻는다면 원에 내접한 다각형을 계산해야만 이렇게 정확한 값을 얻을 수 있을 것이라고 추정했다. 조상은 다른 교묘한 방법으로 계산을 단순화했습니까? 이것은 알 수 없다. 그 연구 성과를 기록한' 전서' 는 이미 실전되었기 때문이다. 이것은 중국 수학 발전사에서 매우 유감스러운 일이다.

중국에서 발행한 조충의 기념우표

조충의 연구 성과는 세계적으로 유명하다.' 발견궁' 과학박물관 벽에는 조충이 얻은 원주율이 소개되고, 모스크바 대학 강당 복도에는 조충의 대리석 조각상이 박혀 있고, 달에는 조충이라는 이름을 붙인 분화산이 있다 ...

사람들은 일반적으로 주충의 두 번째 공헌에 별로 주의를 기울이지 않는다. 즉, 그는 두 개의 간단한 점수, 특히 밀도를 사용하여 파이와 근접한다. 그러나, 사실 후자는 수학적으로 더 중요하다.

밀도와 π 사이의 근사도는 좋지만 형식은 간결하고 아름다우며 1, 3,5 숫자만 사용한다. 수학사 양종주 교수는 분모가 16604 보다 작은 모든 점수 중 밀도보다 π에 더 가까운 점수는 없다고 고증했다. 외국에서 서양인들이 이 결과를 얻은 것은 조충이 죽은 지 천 년이 넘었다.

비밀 유지율을 제시하는 것은 쉽지 않다는 것을 알 수 있다. 사람들은 당연히 그가 어떻게 이 결과를 얻었는지 알고 싶어한다. 그는 어떻게 원주율을 십진수로 표현한 근사치에서 근사치로 바꾸었습니까? 이 문제는 줄곧 수학 역사가들의 관심을 끌고 있다. 문헌이 전해지지 않아, 조상의 충해가 불분명하다. 후세 사람들은 이에 대해 여러 가지 추측을 했다.

먼저 외국 역사의 작품을 살펴보자, 약간의 자료를 제공할 수 있기를 바란다.

1573 년에 독일인 오토가 이 결과를 얻었다. 그는 아르키메데스의 결과 22/7 과 프톨레마이오스의 결과 377/ 120 을 사용했는데, 더하기 과정의' 합성' 과 비슷하다: (377-22)/(120-7) =

1585 년, 네덜란드인 안투오니는 아르키메데스의 방법으로 333/106 < π < 377/120 을 얻어서 그들을 π의 어머니로 접근하고

두 사람 모두 조상의 비밀을 얻었지만, 사용 방법은 모두 결합되어 있어서 이치에 맞지 않는다.

일본 내에서 17 세기-무슨 중요한 저작' 포위 알고리즘' 제 4 권은 화제로술을 창설했는데, 그 본질은 덧셈 과정으로 대략적인 점수를 구하는 것이다. 그는 3 과 4 를 모근사치로 6 회 연속 조충의 근사율을 더하고, 112 회를 더해 비밀률을 얻었다. 학생들은 이런 어리석은 단계별 방법을 개선하여 인접한 적자와 흑자의 근사치를 더하는 방법을 제시했다 (사실 우리가 앞서 말한 덧셈 과정). 3 과 4 부터 6 번째 덧셈에서 근사치까지, 7 번째 덧셈은 25/8, 가장 가까운 22/7 덧셈은 47/ 15 등으로 23 번만 더하면 됩니다.

"중국 산수사" (193 1) 에서 전종염 선생은 조상충의' 일본 조정법' 이나 가중 가법 과정을 제안하여 호승천이 개척했다. 그는 157/50 의 휘장률과 22/7 의 근사치를 모친으로 하여 가산 가중치 x=9 를 계산하여 (157+22 × 9) 를 계산했다. 키안 씨는 "승천 후 그 기술로 비율을 만드는 것도 재미있다" 고 말했다.

또 다른 추측은 연분수법을 사용하는 것이다.

두 자연수의 최대 공약수를 구하는 다상 감산 기술은' 9 장 산수' 가 출판된 이후 줄곧 유행하고 있기 때문에 이 도구로 근사점수를 구하는 것은 당연한 일이다. 그래서 조충이 남은 이진수를 찾은 후 이 도구를 사용하여 3. 14 159265 를 연분식으로 표현하여 점근 점수를 얻을 것을 제안하는 사람이 있다. 3,22/7,333

마지막으로 정밀도는 높지만 분자 분모는 작은 355/ 1 13 을 원주율의 근사치로 사용합니다. 위 원주율의 점근 점수에 대한 구체적인 해법은 여기서 생략됩니다. 너는 우리 앞에서 소개한 방법으로 스스로 물어봐도 무방하다. 영국의 이조셉 박사는 이런 견해를 가지고 있다. 그는' 중국 과학기술사' 제 19 장 기하학에서 조충의 비율에 대해 "비율의 점수는 연분식 점근수여서 비범한 성과다" 고 말했다.

외국에서 이룬 성과를 돌이켜 봅시다.

1 150 년, 인도 수학자 바슈가로는 π = 3927/1250 = 3.14/를 두 번째로 계산했다. 1424 년 중앙아시아의 천문학자, 수학자 카시는' 원의 이론' 을 써서 3× 228 = 805,306,368 개의 가장자리 내접 외접 정다각형의 둘레를 계산하고 π 값을 구했다. 그의 결과는 다음과 같습니다.

π = 3.14159265358979325

17 개의 정확한 숫자가 있다. 외국이 조충의 기록을 깨뜨린 것은 이번이 처음이다.

16 세기 프랑스 수학자 베다는 아르키메데스 방법으로 π 근사치를 계산하고, 6×2 16 정다각형으로 π 값을 계산하여 소수점 이하 9 자리까지 정확하게 계산했다. 그는 여전히 아르키메데스의 방법을 사용하지만, 데이비드는 아르키메데스보다 더 진보된 도구인 십진수 위치 시스템을 가지고 있다. 17 세기 초에 독일인 루돌프는 거의 일생동안 이 문제를 연구했다. 그는 또한 새로운 십진법과 초기 아르키메데스 방법을 결합했지만, 정육각형부터 시작하여 그 변의 수를 두 배로 늘리지는 않았다. 그는 정사각형부터 262 개의 가장자리가 있는 정다각형, 약 4610000000000000000000000000000000000000000000! 이렇게 하면 35 자리의 소수가 나올 수 있다. 그의 비범한 업적을 기념하기 위해 독일인들은 원주율을 루돌프호라고 부른다. 그러나 기하학적 방법으로 그 값을 구하려면 많은 계산이 필요하다. 이렇게 계산하면 가난한 수학자의 생활도 크게 개선되지 않을 것이다. 루돌프에 도착했을 때, 고전적인 방법으로 수학자들을 멀리 인도했다고 할 수 있다. (윌리엄 셰익스피어, 윈스턴, 과학명언) 전진하려면 반드시 방법에서 돌파해야 한다.

수학 분석은 17 세기에 나타났는데, 이 기구는 초등수학에서 어쩔 수 없는 많은 문제를 해결했다. π의 계산 역사도 새로운 단계에 들어섰다.

분석 주기

이 시기에 사람들은 복잡한 다각형 둘레 계산에서 벗어나 무궁수급 또는 무궁연곱으로 π를 계산하기 시작했다.

1593, 다윗이 주었다

이 특이한 공식은 π의 가장 빠른 분석식이다. 오늘날에도, 우리는 여전히 이 공식의 아름다움에 놀라움을 느낀다. 설명값은 숫자 2 만으로 일련의 더하기, 곱하기, 나누기, 제곱으로 계산할 수 있습니다.

그리고 다양한 표정이 나타났다. 월리스 1650 에 설명된 대로:

1706 년, 맥킨은 중요한 공식을 세웠고, 지금은 그의 이름을 따서 이름을 지었다.

분석의 급수 확장을 이용하여 그는 소수점 뒤 100 자리까지 계산했다.

이 방법은 불쌍한 루돌프가 반평생을 발굴한 35 자리 십진법보다 훨씬 간단하다. 분명히, 급수 방법은 고전 방법의 시대에 뒤떨어진 것을 선포했다. 그 이후로, 원주율 계산은 마라톤 경기와 같고, 한 명씩 기록되어 있다.

1844 에서 루윤은 다음과 같은 공식을 사용합니다.

200 까지 세다.

19 세기 이후 비슷한 공식이 계속 등장하면서 π 자릿수도 빠르게 증가했다. 1873 년, 셰는 맥킨의 일련의 방법과 급수 공식을 이용하여 π에서 소수점 뒤 707 자리까지 계산할 수 있다. 그는 20 년이 걸려서야 이 유례없는 기록을 얻었다. 그가 죽은 후, 사람들은 그의 평생의 심혈을 모은 이 가치를 그의 묘비에 새겨 그의 완강한 의지와 끈기를 칭송하였다. 그래서 그는 자신의 묘비에 평생의 노력의 결정체인 파이소수점 뒤 707 자리를 남겼다. 이 놀라운 결과는 다음 74 년 동안의 기준이 되었다. 그 후 반세기 동안 사람들은 그의 계산에 대해 의심의 여지가 없거나, 의심해도 그것이 정확한지 검증할 방법이 없었다. 그래서 1937 년 파리 엑스포 발견청 마당에서 그가 계산한 π 값은 눈에 띄게 새겨져 있었다.

몇 년 후 수학자 퍼거슨은 그의 계산 결과에 대해 의심을 품었다. 그의 의심은 다음과 같은 추측에 근거한 것이다. π의 가치에서는, 따라야 할 법칙이 없지만, 각 숫자가 나타날 확률은 동일해야 한다. 그가 오두막의 결과를 집계했을 때, 그는 숫자가 너무 불균형해 보이는 것을 발견했다. 그래서 의심은 틀렸다. 그는 5 월 1944 부터 5 월 1945 까지 1 년 내내 찾을 수 있는 최첨단 컴퓨팅 도구를 사용했습니다. 1946, 퍼거슨은 제 528 위가 잘못되었다는 것을 발견했다 (4 가 되어야 하지만, 잘못은 5 여야 한다). 시스코의 가치 100 은 이미 전부 청산되어 불쌍한 시스코와 그가 낭비한 15 년의 시간을 완전히 청산했다.

이에 대해 수학사는 아르키메데스, 페르마 등의 저작을 기록하는 것 외에 한두 줄의 글을 짜내어 1873 년 전 셰코가 소수점 뒤 707 자리까지 계산할 수 있다는 사실을 묘사한다고 비웃었다. 이렇게 하면 그는 자신의 인생이 허송되지 않았다고 느낄지도 모른다. 만약 그렇다면, 그의 목적은 달성되었다.

지구 곳곳에서 끊임없이 노력하는 사람들에게 사람들은 이해할 수 없는 것이 정상인 것 같다고 느낀다. (윌리엄 셰익스피어, 템페스트, 희망명언) 그러나, 이 점에 대한 조롱은 너무 잔인하다. 사람의 능력은 다르다. 모든 사람이 페르마와 가우스처럼 될 것을 요구할 수는 없다. 그러나 위대한 수학자가 될 수 없다는 것은 우리가 이 사회에 제한된 공헌을 할 수 없다는 것을 의미하지 않는다. 누구나 다 자기의 장점을 가지고 있다. 정력적인 계산기로서, 셰시스코는 반평생의 시간을 무상으로 이 일에 투입하여 결국 세계의 지식의 보물고에 벽돌을 하나 더 추가하려 한다. 우리는 그의 지칠 줄 모르는 노력에 감염되어 그로부터 약간의 깨우침과 교육을 받아야 하지 않겠는가?

1948 65438+ 10 월 퍼거슨과 롱치는 808 개의 정확한 소수를 가진 파이를 발표했다. 이것은 파이를 수동으로 계산하는 가장 높은 기록이다.

컴퓨터 시대

1946 년 세계 최초의 컴퓨터 ENIAC 제조 성공은 인류 역사상 컴퓨터 시대의 시작을 상징한다. 컴퓨터의 출현은 컴퓨팅 분야의 근본적인 혁명을 가져왔다. 1949 년 ENIAC 는 Machin 공식에 따라 준비 및 정렬 시간을 포함한 2035 (2037) 소수로 계산하는데 70 시간밖에 걸리지 않았습니다. 컴퓨터의 급속한 발전에 따라 그들의 기록은 종종 깨진다.

ENIAC: 시대의 시작

1973 년, 원주율을 소수점 뒤 100 자리로 계산하고 그 결과를 200 페이지 두께의 책으로 인쇄했습니다. 이것은 세계에서 가장 지루한 책입니다. 1989 돌파구 1 억대, 1995 6 월 64 억을 돌파했다. 9 월 30 일, 1999, Abstracts 에 따르면 도쿄대 교수 김다강정 (Yasumasa Kanada) 교수는 20665438+5843 백만 의 십진수를 받았다. 이 숫자들을 A4 크기의 복사지에 인쇄하고 페이지당 20,000 개의 숫자를 인쇄하면, 이 종이들은 쌓여 500-600 미터가 될 것이다. 최근 보도에서 김전강정 (Yasumasa Kanada) 은 슈퍼컴퓨터를 이용해 원주율 소수점 뒤 124 1 11억위 자릿수를 계산해 2 년 전 기록한 기록을 대체했다 김전 교수는 히타치 직원과 협력하여 현재 컴퓨팅 능력 순위 세계 26 위 슈퍼컴퓨터를 사용하고 새로운 컴퓨팅 방법을 사용한 것으로 알려졌다. 이 새로운 숫자들을 계산하는 데 400 여 시간이 걸렸는데, 그가 1999 년 9 월에 계산한 26 1 1 소수 자릿수보다 6 배 더 많았다. 원주율 소수점 뒤 1 조 자리는 두 자리, 1 조 자리는 다섯 자리다. 초당 한 개의 숫자를 읽으면 약 4 만 년이 걸려야 다 읽을 수 있다.

그러나, 지금 기록을 깨는 것도 특별히 놀라지 않을 것이다. 아무리 진보해도. 사실 π의 값을 너무 정확하게 계산하면 실제적인 의의가 크지 않다. 현대 과학기술이 사용하는 십여 개의 π 값만으로도 충분하다. 루돌프의 소수점 뒤 35 자리의 π 값으로 태양계를 둘러쌀 수 있는 원의 둘레를 계산하면 양성자 지름의 백만 분의 1 도 안 된다. 미국 천문학자 사이먼 뉴콘의 말을 인용해 이 계산의 실용적 가치를 설명할 수도 있습니다.

"소수점 뒤 10 자리는 지구의 둘레를 1 인치 이내로 정확하게 할 수 있고, 소수점 뒤 30 자리는 보이는 우주 전체의 둘레를 가장 강력한 현미경으로도 구분할 수 없는 양까지 정확하게 할 수 있다."

그렇다면 수학자들은 왜 등산 선수처럼 오르려고 노력하며, 파이에 대한 탐구를 멈추지 않고 계속 추구할 수 있을까? (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 과학명언) 왜 그 십진수가 이렇게 매력적일까요?

아마도 인간의 호기심과 다른 사람들보다 앞선 마음가짐이 있을 수 있지만, 다른 많은 이유도 있다. (아리스토텔레스, 니코마코스 윤리학, 지혜명언)

펜티엄과 원주율의 기묘한 관계 ...

1, 이제 수퍼컴퓨터의 성능, 특히 연산 속도와 컴퓨팅 프로세스의 안정성을 테스트하거나 조사하는 데 사용할 수 있습니다. 이것은 컴퓨터 자체의 개선에 매우 중요하다. 불과 몇 년 전, 인텔이 펜티엄 (Pentium) 을 출시 할 때, 그는 π 계산을 실행하여 발견 된 작은 문제가 있음을 발견했습니다. 이것은 또한 초고정밀도 π 계산이 오늘날에도 여전히 중요한 의미를 갖는 이유 중 하나이다.

계산 방법과 아이디어는 새로운 개념과 아이디어로 이어질 수 있습니다. 컴퓨터의 연산 속도가 누구의 상상을 초월하지만 수학자들은 여전히 프로그램을 작성하여 컴퓨터가 제대로 작동하도록 지도해야 한다. 사실, 정확 하 게, 우리가 파이의 계산 역사를 전자 컴퓨터 기간으로 나눌 때, 이것은 계산 방법의 개선을 의미 하지는 않지만, 계산 도구의 큰 도약 이다. 따라서 계산 기술을 개선하고, 더 나은 계산 공식을 연구하고, 공식을 더 빨리 수렴하고, 더 큰 정확도를 빠르게 달성하는 방법은 수학자들이 직면한 중요한 과제로 남아 있다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 과학명언) 이 점에서, 금세기 인도의 천재 수학자 Ramanuyan 은 좋은 성과를 거두었다. 그는 파이 근사치를 빠르고 정확하게 계산할 수 있는 많은 공식을 발견했다. 그의 견해는 π 근사치를 더 효과적으로 계산하는 아이디어를 열었다. 이제 컴퓨터가 π 값을 계산하는 공식은 그가 얻은 것이다. 이 전설적인 수학자의 이야기에 관해서는, 우리는 이 작은 책에 소개하고 싶지 않다. 하지만 저는 파이의 이야기가 기계의 승리가 아니라 인류의 승리라는 것을 이해하시기 바랍니다.

3. 파이의 계산에 관한 또 다른 질문은: 우리가 무한히 계산을 계속할 수 있을까? 대답은: 아니! Judarovsky 의 추정에 따르면, 우리는 최대 1077 까지 셀 수 있다. 비록 우리가 이 한계에서 아직 멀었지만, 결국 하나의 국경이다. 이 제한에 얽매이지 않기 위해서는 계산 이론에 새로운 돌파구가 필요하다. 위에서 말한 계산은 어떤 공식을 사용하든 처음부터 계산해야 한다. 일단 앞의 어떤 숫자가 잘못되면, 뒤의 값은 전혀 의미가 없다. 아쉬운 사크스 기억나? 그는 역사상 가장 비통한 교훈이다.

4. 그래서 어떤 사람들은 처음부터 시작하는 것이 가능한지, 중간에서 시작하는 것이 가능한지 궁금해합니다. 이 기본 사상은 병렬 알고리즘 공식을 찾는 것이다. 1996, 마침내 원주율의 병렬 알고리즘 공식을 찾았지만 16 의 공식이므로 1000 억 비트의 값을 쉽게 얻을 수 있지만/kloc-0 만 있습니다 10 의 병렬 계산 공식이 있는지 여부는 여전히 미래의 수학에서 큰 문제입니다.

5. 무한대 서열로서 수학자들은 파이를 수억 비트로 확장하는 것에 관심이 있다. 이렇게 하면 사람들이 제기한 이론적 문제를 검증하기에 충분한 데이터를 제공하여 많은 매혹적인 성격을 발견할 수 있다. 예를 들어 파이의 십진수, 10 수, 희소한 것, 밀집된 것? π의 숫자 확장에서 어떤 숫자는 다른 숫자보다 더 자주 나타납니까? 어쩌면 그들은 완전히 무작위가 아닌가? 이 생각은 결코 지루하지 않다. 머리가 예민한 사람만이 간단해 보이는 이런 질문을 할 수 있는데, 많은 사람들이 습관이 되어도 물어볼 가치가 없다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 지혜명언)

6. 수학자 퍼거슨은 먼저 파이의 수치 공식에서 각 숫자가 나타날 확률이 동일하다는 추측을 했다. 콕스가 π 값을 계산하는 실수를 발견하고 바로잡는 데 큰 기여를 했다고 그의 추측이다. 그러나 추측은 현실과 같지 않다. 퍼거슨은 시험해 보고 싶었지만, 그는 아무것도 할 수 없었다. 후세 사람들도 검증을 원하지만 알려진 π 값의 자릿수가 너무 적다는 것도 알고 있다. 자릿수가 너무 적더라도 추측의 정확성을 의심할 이유가 있다. 예를 들어 숫자 0 은 시작 부분에 거의 나타나지 않습니다. 처음 50 위는 1 0 개밖에 없었고, 가장 먼저 32 비트에 나타났다. 그러나 이 현상은 데이터가 증가함에 따라 빠르게 바뀌었다. 100 비트 안에 8 개의 0 이 있다. 200 위 이내에는 19 개의 0 이 있습니다. ..... 10 만 자릿수 안에 999440 개의 0 이 있습니다. 60 억 자릿수 안에 599,963,005 개의 0 이 있어 거의 65,438+0/65,438+00 을 차지한다.

다른 숫자는요? 그 결과 거의 모든 것이 1/ 10, 어느 정도는 적은 것으로 나타났다. 약간의 편차가 있지만 모두 1/ 10000 내에 있습니다.

7. 사람들은 여전히 알고 싶어한다: 파이의 디지털 확장은 정말 일정한 패턴이 없는가? 우리는 십진 전개식 중 숫자의 통계적 분포를 연구함으로써 가능한 모든 모델을 찾을 수 있기를 희망합니다. 이런 모델이 있다면 지금까지 발견되지 않았습니다. 동시에 우리는 또한 알고 싶다: 파이의 전개에 무한한 스타일 변화가 포함되어 있는가? 아니면 어떤 형태의 숫자 배열도 나타나지 않을까요? 유명한 수학자 힐버트는 그가 발표하지 않은 공책에서 다음과 같은 질문을 한 적이 있다. 파이의 10 개 급수 중 10 이 9 개 연결되어 있는가? 지금 계산한 60 억 수치로 볼 때, 이미 6 개의 연속 9 개가 연결되어 있다. 힐버트 질문에 대한 답은 긍정적인 것 같다. 어떤 숫자의 배열도 나타나야 할 것 같은데, 단지 언제일 뿐이다. 하지만 확실한 증거를 제공하기 위해서는 더 많은 π 자릿수가 필요합니다.

8. 이와 관련하여 다음과 같은 통계 결과가 있습니다. 60 억 숫자 중 8 개가 나타났습니다. 아홉 일곱; 10 6; 소수 7 10 150 및 3204765 부터 7 개 연속 3 개 14 142 135 이 8 자리 숫자는 소수점 52638 부터 계속 나오는데, 바로 처음 8 자리입니다. 소수점 뒤 2747956 위부터 재미있는 시퀀스 8765432 10 이 나왔지만 앞에 9 가 빠졌어요. 더 흥미로운 시리즈도 있습니다 123456789.

계속 세면 다양한 유형의 숫자 열 조합이 나타날 수 있습니다.

변화: π의 다른 계산 방법

1777 이 출판한' 확률산수실험' 이라는 책에서 부풍은 실험방법으로 π를 계산하자고 제안했다. 이 실험 방법의 조작은 간단하다. 두께가 균일하고 길이가 D 인 가는 바늘을 찾아 백지 한 장에 L 간격이 있는 평행선 세트 (편의상 l = d/2) 를 그린 다음 작은 바늘을 백지 위에 몇 번이고 자유롭게 던진다. 이렇게 여러 번 반복하여 바늘이 임의의 평행선과 교차하는 횟수를 계산하면 π의 근사치를 얻을 수 있다. 부폰은 바늘이 임의의 평행선과 교차할 확률이 p = 2l/π d 라는 것을 스스로 증명했기 때문이다. 이 공식을 이용하면 확률의 방법으로 원주율의 근사치를 구할 수 있다. 한 실험에서 그는 l = d/2 를 선택하고 바늘을 22 12 회 넣었는데, 여기서 바늘은 평행선 704 회를 통과하므로 원주율의 근사치가 2212/704 = 3./ 실험 횟수가 상당히 많을 때 더 정확한 값을 얻을 수 있다.

1850 에서 Wolff 라는 사람이 5,000 번 이상 던진 후 근사치 3. 1596 을 얻었다. 현재 이런 방법으로 가장 좋은 결과를 얻었다고 주장하는 것은 이탈리아인 라스리니다. 190 1 에서 그는 실험을 반복하여 3408 회 주사를 맞았다. π의 근사치는 3. 14 15929 로 많은 사람들이 그의 실험의 진실성을 의심하게 할 정도로 정확하다. 예를 들어, 미국 유타주 오그든 국립웹대학의 L Badger 는 이에 대해 강한 의문을 제기했다.

그러나 부풍 실험의 중요성은 다른 방법보다 더 정확한 값을 얻는 것이 아니다. 부폰 바늘 문제의 중요성은 확률 문제를 기하학적으로 표현하는 첫 번째 예라는 것이다. 이 계산법은 참신하고 기묘하며 경이로울 뿐만 아니라, 난수로 확실성 수학 문제를 처리하는 선례를 창조하며, 우연적인 방법으로 확실성 계산을 해결하는 선구자이다.

확률 방법을 사용하여 π 값을 계산할 때 1904 에서 R Chatter 가 무작위로 기록된 두 숫자의 상호 질적 확률이 6/π 2 라는 점도 언급해야 합니다. 1995 년 4 월 영국' 네이처' 잡지는 영국 버밍엄 대학 컴퓨터과학과 응용수학과 로버트 매시우스가 밤하늘의 밝은 별 분포를 이용해 원주율을 계산하는 방법을 소개하는 문장 한 편을 발표했다. 매시우스는 100 개의 가장 밝은 별 중에서 무작위로 한 쌍과 한 쌍을 선택하여 위치 사이의 각도 거리를 분석합니다. 그는 654.38+0 만 쌍의 계수를 조사한 결과 π의 값은 약 3.654.38+02772 였다. 실제 값에 대한 이 값의 상대 오차는 5% 미만입니다.

무한한 신비: 기범시 남성 향수 π. 광고어는 원주율을 탐구하고 우주를 탐구하는 것이다.

π는 기하학, 미적분학, 확률 등 광범위한 채널을 통해 발견되며 수학적 방법의 기이한 아름다움을 충분히 보여준다. π가 이런 겉보기에 관련이 없는 실험과 소통한다는 것은 정말 놀랍다.