디 프로젝션 원리란 무엇인가요?

우리는 5개의 DMU(회사)를 포함하는 간단한 예를 사용하여 규모에 대한 지속적인 수익을 갖춘 입력 주도 데이터 포괄 분석을 설명합니다. 각 DMU에는 2개의 입력과 1개의 출력이 있습니다.

표 1 규모에 대한 수익이 일정한 DEA 예시 데이터

이 예시의 입출력 비율은 다음과 같습니다. 데이터 6 동시에 DEA의 방정식 12에 해당하는 프론티어도 내보내집니다. 그러나 우리는 이 DEA 전선이 5개의 DMU 각각에 대해 한 번씩 선형 프로그램을 계산한 결과라는 점을 명심할 수 있습니다. 예를 들어, DMU3의 경우 방정식 12를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

minθ,λθ,

st -y3+(y1λ1+y2λ2+y3λ3+y4λ4+y5λ5)≥0, p>

θx13-(x11λ1+x12λ2+x13λ3+x14λ4+x15λ5)≥0,

θx23-(x21λ1+x22λ2+x23λ3+x24λ4+x25λ5)≥0,

λ≥0, (14)

여기서 λ=(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5)'.

θ와 λ의 값은 다음과 같습니다. 표 2의 세 번째 행은 θ의 가장 작은 값입니다. DMU3의 기술적 효율성 값은 0.833입니다. DMU3는 출력을 줄이지 않고도 입력을 16.7% 줄일 수 있습니다. 이는 데이터 6의 3' 지점에서 생성되어야 함을 의미합니다. 이 추정점 3'은 DMU2와 DMU5를 연결하는 선상에 있으며, 점3의 대응점으로 간주된다. 이는 국경의 관련 부분(예: DMU3 관련)이 어디에 있는지 정의하고 따라서 DMU3의 효율적인 생산 지점을 정의합니다. Point 3'은 Point 2와 Point 5의 선형결합이며, 선형결합의 가중치는 표 2의 세 번째 행의 λ 값이다.

데이터 6

규모에 따른 수익 불변이 있는 입력 주도 DEA의 예

표 2

불변 수익이 있는 입력 주도 DEA 결과 확장

많은 연구에서 목표와 대응점에 대해 논의합니다. DMU의 목표는 해당 효율성 예측점 3'입니다. 이는 0.833×(2,2)= (1.666,1.666)과 같습니다. 따라서 3개 단위의 출력을 얻으려면 DMU3는 3×(1.666,1.666)=(5,5) 단위의 두 개의 입력을 사용해야 합니다.

사람들은 다른 비효율적인 DMU에 대해서도 유사한 실험을 수행할 수 있습니다. 논의. DMU4의 효율지수는 0.714로 DMU3과 유사한 대응점을 가지고 있다. DMU1의 효율성 지수는 0.5이고, DMU2는 효율성의 해당 지점입니다. DMU1의 추정점은 x2축과 평행한 효율부분의 상단에 있음을 알 수 있다. 따라서 (Koopman의 정의에 따르면) 효율성 지점을 나타내지 않습니다. 입력 x2를 0.5 단위만큼 줄일 수 있으므로(따라서 생산 지점은 지점 2임) 여전히 동일한 양의 출력을 얻을 수 있기 때문입니다. 따라서 DMU1은 입력 방사능의 50%를 낭비했다고 말할 수 있으며 x2의 0.5 단위(비방사성) 입력 여유 변수를 갖습니다. 이는 목표(x1=1,x2=2)로 이어집니다. 이것이 해당 지점 2입니다.

3.2 규모 모델(VRS)에 대한 변수 수익 및 규모 효율성 CRS의 가정은 다음과 같습니다. 모든 DMU는 최적 규모(예: 상응하는 평평한 부분)에서 작동할 때 적합합니다. LRAC 곡선). 불완전한 경쟁과 제약, 재정적 제약 등으로 인해 DMU가 가장 적절한 규모로 운영되지 않을 수 있습니다. Banker, Charnes 및 Cooper(1984)는 규모에 따른 수익 불변의 DEA 모델을 규모에 따른 수익 변화의 경우로 확장했습니다. DMU가 최적의 규모로 작동하지 않을 때 CRS 사양을 사용하면 기술 효율성 측정이 규모 효율성으로 인해 혼동될 수 있습니다. VRS 모델 사양을 사용하면 규모 효율성의 영향을 제외한 기술적 효율성을 계산할 수 있습니다.

CRS 선형 프로그래밍 모델은 볼록성 제약 조건을 추가하여 VRS 모델로 쉽게 수정할 수 있습니다. 방정식 12에 추가된 볼록성 제약 조건은 다음과 같습니다. N1'λ=1, 이를 얻을 수 있음

minθ,λθ,

st -yi+Yλ≥0,

θxi-XLL≥0,

N1'λ=1

λ≥0, (15)

N1은 모두 N×1 행렬입니다. 이 방법은 CRS의 원뿔형 표면보다 모든 데이터를 더 가깝게 포괄할 수 있는 볼록한 표면을 형성하므로 얻어지는 기술적 효율성은 CRS 모델을 사용하여 얻은 것보다 높거나 동일합니다. VRS 규제 매뉴얼은 20세기에 가장 인기 있는 매뉴얼이었습니다.

규모 효율성 계산

많은 연구에서는 CRS 모델에서 얻은 기술적 효율성을 두 부분으로 분해하는데, 한 부분은 규모의 비효율성으로 인한 것이고, 다른 부분은 순수 기술로 인한 것입니다. 유효하지 않은. 이는 동일한 데이터에 대해 두 개의 DEA 모델인 CRS와 VRS를 구현하여 수행할 수 있습니다. 특정 DMU에 대해 두 기술의 효율성이 다르다면 이는 해당 DMU가 규모 비효율성을 갖고 있음을 증명한다. 규모의 비효율성은 VRS의 기술적 효율성과 CRS의 기술적 효율성의 차이로 계산할 수 있습니다.

데이터 7은 이 문제를 설명하려고 시도합니다. 이 데이터에는 입력과 출력의 예가 있으며 VRS와 CRS의 효율성 경계를 그립니다. CRS의 투자주도적 기술적 비효율성에서는 P점으로부터의 거리가 PPC이고, VRS 모델에서는 기술적 비효율성이 PPV이다. 둘, PCPV의 차이점은 규모의 비효율성입니다. 우리는 이것을 비율 효율성 측정의 관점에서 표현할 수 있습니다.

TEI,CRS=APC/AP

TEI,VRS=APV/AP

SEI=APC/APV

모두 측정값은 모두 0과 1 사이입니다. 또한

TEI,CRS=TEI,VRS×SEI

왜냐하면

APC/AP=(APV/AP)×(APC/APV)라는 점도 알 수 있습니다. ).

이것이 CRS의 기술 효율성이 순수 기술 효율성과 규모 효율성으로 분해될 수 있는 이유이다.

데이터 7

DEA의 규모의 경제 계산

규모 효율성 방법의 한 가지 단점은 그 값이 DMU가 증가하는 상황에서 운영되고 있는지 여부를 반영할 수 없다는 것입니다. 규모에 따른 수익 또는 규모 수익 체감 분야. 이는 규모에 대한 수확량이 증가하지 않는(NIRS) 추가 DEA 모델을 실행하여 확인할 수 있습니다. 이는 방정식 15의 DEA 모델을 변경하여 수행할 수 있습니다. 방정식 15의 N1'λ=1 제한을 N1'λ≤1로 바꾸면 다음을 얻을 수 있습니다.

minθ,λθ,

st -yi+Yλ≥0,

θxi-XLλ≥0,

N1'λ≤1

λ≥0, (16)

NIRS DEA 전선은 데이터 7에 표시되어 있습니다. DMU의 규모 비효율성 유형(예: 규모 증가 또는 감소로 인한)은 NIRS의 기술 효율성 값이 VRS의 기술 효율성 값과 일치하는지 여부를 살펴봄으로써 판단할 수 있습니다. 두 값이 같지 않으면(데이터 포인트 7P의 예) 이 DMU는 규모에 대한 수확체증을 가집니다. 두 값이 같으면(데이터 7포인트 Q의 경우처럼) 규모에 따른 수확 체감이 적용됩니다. 국제 항공사에 적용되는 이러한 접근법의 예는 BIE(1994)에 제공됩니다.

예 2예 2

이것은 각각 단일 입력을 사용하여 단일 제품을 생산하는 5개 회사가 포함된 간단한 예입니다. 데이터는 표 3에 나열되어 있으며 VRS 및 CRS 입력 주도 DEA 모델의 결과는 표 4에 나열되어 있으며 데이터 8에 표시되어 있습니다. 입력 주도형을 사용한다고 가정하면 데이터 8을 통해 수평적으로 효율을 측정할 수 있다. 규모에 대한 수익이 일정하다고 가정하면 회사 3이 (DEA의 효율성 경계에서) 유일하게 효율적인 회사인 것으로 관찰되지만, 규모에 대한 수익이 변경된다고 가정하면 회사 1, 3, 5가 모두 효과적입니다.

회사 2의 기술적 효율성은 CRS와 VRS 모델 모두에서 유효하지 않기 때문에 다양한 효율성 방법의 계산은 회사 2를 사용하여 시연할 수 있습니다.

CRS의 기술적 효율성은 2/4=0.5, VRS의 기술적 효율성은 2.5/4=0.625, 규모 효율성은 CRS의 기술적 효율성과 VRS의 기술적 효율성은 0.5/0.625= 0.8입니다. 또한 회사 2가 VRS 효율성 경계의 규모에 대한 수확체증 단계에 있음을 관찰할 수 있습니다.

표 3

규모 수익 변화에 대한 DEA 모델의 예시 데이터

표 4

VRS 입력 주도 DEA 결과

p>

데이터 8

VRS 입력 중심 DEA의 예

3.3 입력 및 출력 방향 입력 및 출력 중심 유형

위의 입력 지향 섹션 3.1과 3.2에서 논의한 모델 내에서 이 모델은 기술적 비효율성을 낭비되는 입력의 비례적 감소로 정의하려고 시도합니다. 이는 입력방식에 따른 Farrell의 기술적 비효율성 계산과 동일하다.

섹션 2.2에서 논의한 것처럼 기술적 비효율성을 생산량의 비례 증가로 계산할 수도 있습니다. 두 방법의 값은 규모 수익률이 일정할 때 동일하지만, 규모 수익률이 변화할 때 서로 다릅니다(데이터 3 참조). 선형 계획법 모델은 연립방정식 편향의 통계적 문제를 겪지 않는다고 가정합니다. 적절한 방향의 선택은 계량경제적 추정 예시에서처럼 중요하지 않습니다. 많은 연구에서 분석은 많은 DMU가 이행해야 하는 특별한 명령(예: 발전)을 가지고 있기 때문에 지배적인 모델에 투자하는 경향이 있습니다. 따라서 투입량은 주요 결정 변수인 것으로 보이지만, 이 주장은 모든 산업에서 강력하지는 않을 수 있습니다. 일부 산업에서는 DMU에 고정된 양의 자원이 주어지고 가능한 한 많은 생산량을 생산하도록 요청받을 수 있습니다. 이 경우에는 출력 중심 접근 방식이 더 적합합니다. 필요한 것은 관리자가 최대한 통제할 수 있는 수량을 바탕으로 방향을 선택하는 것입니다. 게다가 많은 경우 방향 선택이 결과 데이터에 약한 영향을 미친다는 것을 알게 될 것입니다. (예: Coelli and Perelman 1996 참조).

출력 주도 모델은 입력 주도 모델과 매우 유사합니다. 출력 주도 VRS 모델의 다음 예를 고려하십시오.

maxΦ,λΦ,

st -ψyi+Yλ≥0,

xi-XLλ≥0,

N1'λ= 1

λ≥0, (17)

여기서 1≤Φ<무엇이든, Φ-1은 입력량을 변경하지 않고 i번째 DMU의 출력입니다. 그건 늘어날 수 있어요. Φ-1은 0과 1 사이에서 변하는 기술 효율성 지수를 정의합니다(이는 DEAP 소프트웨어에서 얻은 출력 지향 기술 효율성입니다). 출력 지향 DEA의 두 출력 예는 조각별 선형으로 표시될 수 있습니다. 그림 8과 같은 출력 가능성 곡선.

관찰점은 곡선 아래에 있고 곡선의 일부는 방사형 확장 출력선을 통해 곡선의 이 부분에 투영될 때 좌표축에 직각을 이루고 있습니다. , 출력의 느슨함은 가변적으로 계산되어야 합니다.

예를 들어 P점을 P'점에 투영하면 P'점은 프론티어에 있지만 효율성 프론티어에는 없습니다. 왜냐하면 생산량을 늘리지 않고도 제품 Y1이 AP를 통해 생산량을 늘릴 수 있기 때문입니다. '. AP'는 출력 y1의 출력 여유 변수입니다.

강조해야 할 한 가지 점은 출력 주도 모델과 입력 주도 모델이 정의에 따라 동일한 경계를 정확하게 추정하여 동일한 DMU를 가장 효율적인 것으로 식별한다는 것입니다. 비효율적인 DMU에 대한 효율성 측정 방법은 두 가지 방법에 따라 다를 수 있습니다. 우리는 데이터 3의 두 번째 부분에서 두 가지 방법을 모두 보여줄 것입니다. 여기서 두 방법 모두 규모에 대한 수확량이 일정한 경우에만 동일한 효율성 값을 제공할 수 있음을 관찰할 수 있습니다.

데이터 8

생산 주도 DEA

3.4 가격 정보 및 할당 효율성 가격 정보 및 할당 효율성

가격 정보가 있는 경우 , 기술 효율성과 할당 효율성을 모두 측정할 수 있도록 비용 최소화 또는 출력 최대화와 같은 행동 목표를 고려합니다. VRS의 비용 최소화 예를 위해 방정식 15에 포함된 입력 주도 DEA 모델을 사용하여 기술 효율성을 계산합니다. 그런 다음 다음과 같은 비용 최소화 DEA 모델을 실행합니다.

minλ,xi* wi'xi*,

st -yi+Yλ≥0,

xi*-XLL≥0,

N1'λ=1

λ≥0, (23)

여기서 wi는 i번째 DMU의 입력 가격 행렬, ​​xi*(다음으로 계산됨)입니다. 선형 프로그래밍 모델) 주어진 입력 가격 wi와 출력 수준 yi에서 i번째 DMU의 비용을 최소화할 수 있는 입력 수량입니다. i번째 DMU의 총 비용 효율성 또는 경제성은 다음과 같이 계산할 수 있습니다

CE=wi'xi*/wi'xi.

즉, 비용이 가장 작은 비율로 비용을 관찰하는 것입니다. 그런 다음 방정식 4를 사용하여 할당 효율성 잔차를

AE=CE/TE로 계산할 수 있습니다.

이 계산 방법은 할당 효율성 측정에 여유 변수를 도입하지 않습니다. 이는 입력의 부적절한 비율을 반영하는 여유 변수의 맥락에서 항상 합리적입니다.

또한 동일한 방식으로 출력 혼합 선택에 대한 소득 극대화와 할당적 비효율성을 고려할 수 있다는 점에 주목합니다. 이에 대한 자세한 논의는 Lovell(1993, p33)을 참조하십시오.

이 수익 효율성 모델은 DEAP에서 구현할 수 없다는 점에 유의해야 합니다.

예 3 예 3

이 예에서는 예 1의 데이터를 사용하여 정보, 즉 모든 정보를 추가합니다. 기업 투자 투입물 1과 투입물 2의 가격은 각각 1과 3입니다. 따라서 데이터 9의 등량곡선에 접하는 데이터 6에 -1/3의 기울기를 갖는 비용 곡선을 그립니다. 표에서 우리는 회사 5가 유일하게 비용 효율적인 회사이고 다른 모든 회사는 어느 정도 할당적 비효율성을 겪고 있음을 알 수 있습니다. 다양한 비용 효율성과 할당 효율성이 표 5에 나열되어 있습니다. 이러한 효율성의 계산은 회사 3을 사용하여 입증할 수 있습니다. 우리는 회사 3의 기술적 효율성이 원점(O)에서 3까지의 광선에 의해 계산된다는 사실을 오랫동안 알아냈습니다. 그 비율은 0에서 3' 지점까지의 거리와 0에서 3' 지점까지의 거리로, 이는 0.833입니다. . 할당 효율은 0에서 3''까지의 거리가 0에서 3''까지의 거리에 비해 0.9배인 것이다. 비용 효율성은 0에서 3''까지의 거리가 0에서 3까지의 거리에 비해 0.75라는 점입니다. 0.833×0.9=0.750도 이렇게 계산할 수 있습니다.

데이터 9

CRS 비용 효율성 DEA의 예

표 5

CRS 비용 효율성 DEA 결과

3.5 패널 데이터, DEA 및 Malmquist 지수 패널 데이터, DEA 및 Malmquist 지수

패널 데이터가 있는 경우 DEA와 유사한 선형 계획법 및 (입력 또는 출력 기반) Malmquist The TFP 지수는 생산성 변화를 측정하고 생산성 변화를 기술 진보와 기술 효율성의 변화로 분해합니다.

Fare et al(1994)은 생산량 기반 Malmquist 생산성 지수를 다음과 같이 정의했습니다.

생산 지점(xt+ 1,yt+1) 생산성을 나타냅니다. 1보다 큰 값은 t 기간에서 t+1 기간까지 양의 TFP 성장을 나타냅니다. 실제로 이 지수는 두 개의 산출물 기반 Malmquist TFP 지수의 동일 비율 중기 지수입니다. 한 지수는 기간 t에 기술을 사용하고 다른 지수는 기간 t+1에 기술을 사용합니다. 방정식 24를 계산하려면 네 가지 선형 프로그래밍 문제를 포함하는 네 부분으로 구성된 함수를 계산해야 합니다(해당 구성은 Farrell의 기술적 효율성을 계산하는 데 사용된 방법과 유사합니다).

우리는 규모에 대한 지속적인 수익을 가정합니다(나중에 규모 효율성 문제를 관찰하기 위해 더 분해할 것입니다)

d0t(xt,yt를 계산하는 데 사용되는 CRS 출력 지배력의 선형 선형성 ) 계획은 VRS 제약 조건이 제거되지만 시간 첨자가 포함된다는 점을 제외하면 수식 17과 동일합니다. 그것은

[d0t(xt,yt)]-1 =maxψ,λψ,

St -ψyit+Ytλ≥0,

xit-Xtλ≥입니다. 0 ,

λ≥0, (25)

다른 세 가지 선형 계획법 문제는 이것의 간단한 변형입니다:

[d0t+1(xt+1 ,yt+1)]-1=최대Φ, λΦ,

St -Φyi,t+1+Yt+1λ≥0,

xi,t+1-Xt+1λ ≥0,

λ≥0, (26)

[d0t(xt+1,yt+1)]-1=maxψ,λψ,

St -ψyi,t+1+Ytλ≥0,

xi,t+1-Xtλ≥0,

λ≥0, (27)

λ≥0, (28)

선형 프로그래밍 모델 27과 28에서 생산 지점의 기술은 서로 다른 기간에 비교되며 Φ 매개변수는 ≥1이어야 합니다. Farrell 효율을 계산하는 것과 같습니다. 그 지점은 실행 가능한 생산 혼합보다 높을 수 있습니다. 이러한 상황은 선형 계획법27에서 t+1 기간의 생산 지점 기술과 t 기간의 생산 지점 기술을 비교할 때 발생할 가능성이 가장 높습니다. 기술이 발전하면 Φ < 1의 값이 가능하다. 기술 회귀가 발생하면 선형 프로그래밍 28에서도 이러한 상황이 발생할 수 있지만 기술 회귀 가능성은 매우 적습니다.

4개의 선형 프로그램에서 해당 값이 다를 수 있으므로 점 ψ과 λ를 기억해야 합니다.

또한 위의 4가지 선형 프로그램은 표본의 각 회사에 대해 계산되어야 합니다. 따라서 20개의 회사와 2개의 스테이지가 있다면 80번의 선형 계획법 연산을 수행해야 합니다. 또한 추가 시간을 추가할 경우 각 회사에 대해 추가로 3개의 선형 프로그램을 계산해야 합니다(순차 지수를 구성하기 위해). T 시간이 있는 경우 각 표본 회사에 대해 (3T-2) 선형 계획을 계산해야 합니다.

그래서 N개의 회사가 있다면 N×(3T-2) 선형계획을 계산해야 합니다. 예를 들어 N=10개 기업, T=10회일 때 20×(3×10-2)=560개의 선형 프로그램을 계산해야 합니다.

인접한 시점별로 기업별 결과를 표로 정리할 수 있다. 또는 시간이나 공간에 걸쳐 간단한 조치를 제안할 수도 있습니다.

규모 효율성

위의 방법은 확장될 수 있습니다(CRS) 기술 효율성을 규모 효율성과 순수(VRS) 기술 효율성의 두 부분으로 분해합니다. 여기에는 두 개의 추가 선형 프로그램을 계산하는 작업이 포함됩니다(두 개의 생산 지점을 비교할 때). 여기에는 볼록성 한계(N1'λ=1)를 포함하는 선형 프로그램 25와 26을 다시 계산하는 작업이 포함됩니다. 이는 CRS가 아닌 VRS 기술을 계산하는 방법입니다. 능률. 그런 다음 섹션 3.2의 방법을 사용하여 CRS 및 VRS 값을 사용하여 규모 효율성 잔여 값을 계산할 수 있습니다. N개 회사, T시간의 경우 선형계획법의 개수를 N×(3T-2)에서 N×(4T-2)로 늘려야 합니다. 규모 효율성에 대한 자세한 논의는 Fare et al(1994, p75)을 참조하십시오.

예 4 예 4

이 예에서는 예 2의 데이터를 사용합니다. 데이터를 1년 더 추가하세요. 이 데이터는 표 6에 제시되어 있으며 그림 9에도 표시되어 있습니다. 데이터 9는 또한 CRS 및 VRS DEA 모델의 경계를 두 번 표시합니다. 다양한 거리(기술적 효율성)로 인해 Malmquist 지수를 계산해야 하며 이는 섹션 5.4의 표 10c에도 나열되어 있습니다.

표 6

Malmquist DEA의 예시 데이터

데이터 8

VRS 투자 주도 DEA의 예시