파동 방정식 마이그레이션

파동 방정식 마이그레이션은 회절 스캐닝 스택 마이그레이션에 비해 본질적으로 크게 개선된 방식으로, 현재 실제 생산에 사용되는 주요 마이그레이션 방법이며, 그 중 15° 유한 차분 마이그레이션이 가장 일반적입니다.

1.15° 유한차분법 파동방정식 이동

15° 유한차분법 파동방정식 이동은 지상에서 얻은 수평 중첩 시간 프로파일을 경계조건으로 사용하며, 미분미분 대신 상승파만 포함하는 근사파동방정식을 풀어 각 지하지점의 파동장 값을 구한 후, 이동법을 이용하여 지하 경계면의 실제 영상을 구한다. 마이그레이션 프로세스는 확장 및 이미징 프로세스이기도 합니다.

1) 연속방정식의 유도

다음의 2차원 파동방정식으로부터 출발

지진파장 및 지진탐사

폭발 반사 모델에 따르면 속도를 절반으로 줄입니다. 즉, v를 v/2로 바꾸면 다음을 얻을 수 있습니다.

지진파장 및 지진 탐사

이 방정식은 다음과 같습니다. 업링크 파동과 하향 파동에 해당하는 두 가지 솔루션입니다. 지진기록은 단순 상향파 기록이므로 연속식으로 사용할 수 없으며, 이를 사용하기 전에 단순 상향파 방정식으로 변환해야 합니다. 일반적으로 사용되는 방법은 좌표 변환을 수행한 후 근사치를 구하는 것입니다. 첫 번째 단계는 좌표 변환이므로

지진파 필드 및 지진 탐사

위 공식의 첫 번째 변환은 아무것도 변경하지 않으며 두 번째 변환은 단지 공간 깊이 z를 대체합니다. 시간이 지남에 따라 깊이 τ에도 실질적인 변화가 없습니다. 핵심은 세 번째 변환입니다. 즉, 전통적인 기존 시계가 더 이상 타이밍에 사용되지 않고 기존 시계와 동일한 속도로 실행되지만 시작 시간과 깊이가 다른 새로운 시계가 사용됩니다. 새로운 시계를 사용하면 상승파와 하강파의 차이가 나타납니다.

좌표 변환은 실제 파동장을 변경하지 않기 때문에 원래 좌표계의 파동장 u(x, z, t)는 새 좌표계의 파동장과 정확히 동일합니다.

지진파 장 및 지진 탐사

복합 함수 미분 방법을 통해 다음을 얻습니다.

지진파 장 및 지진 탐사

위의 2차 편미분을 적용합니다. 결과는 방정식 (4-4-3)으로 대체되고 정렬 후 다음을 얻습니다.

지진파 필드 및 지진 탐사

작성상의 편의를 위해 u, x, t를 각각 대치한 후 (4-4-5) 식은 다음과 같이 쓸 수 있다

지진파장과 지진탐사

수식에서 uxx, uττ, uτt는 각각 u의 2차 도함수를 나타냅니다. 알아채다. 이 방정식에는 여전히 상승하는 파동과 하강하는 파동이 포함되어 있으며 계속해서 사용할 수 없으므로 두 번째 단계가 있습니다.

좌표 변환 후 파동장은 변하지 않지만 상승파와 하강파는 새로운 좌표계에서 차이를 나타냅니다. 이러한 차이는 주로 uττ의 크기에 따라 다릅니다. 수직 방향 사이의 각도가 작은 경우(15° 미만) uττ는 무시할 수 있지만 하향 파동의 경우 uττ는 무시할 수 없습니다. uττ 항을 무시하면 상승파만 포함하는 근사식을 얻습니다.

지진파장과 지진탐사

이것은 15° 상승파에 대한 근사식입니다(왜냐하면 진행방향과 수직방향 사이의 각도가 15° 미만인 상향파 또는 15° 미만의 경사각을 갖는 계면에 의해 형성된 상향 반사파만이 이를 만족할 수 있는데, 이는 일반적으로 사용되는 연속방정식이다.

이 방정식을 풀기 위해서는 명확한 풀이 조건이 주어져야 합니다. 지진원의 강도는 제한되어 있으므로 다음과 같은 명확한 해조건이 주어질 수 있다:

a. 조사선 양쪽 끝 외부의 파동장은 0이다. 즉,

u (x, τ, t) SiO x>xmax 또는 x

b일 때 0입니다. 최대 기록 시간 밖의 파동장은 0입니다. 즉,

u(x , τ, t) t> tmax일 때 τ

c. 자기 여기 및 자기 후퇴 레코드(수평 중첩 프로파일)는 주어진 경계 조건, 즉 파동장 값 u( x, 0, t) 시간 깊이 τ = 0이 알려져 있습니다.

그림 4-4-5 12점 미분 형식

이러한 명확한 해 조건을 사용하면 식 (4-4-7)을 풀면 지하 모든 깊이에서 파동을 얻을 수 있습니다. 필드 값 u(x, τ, t), 이것이 연속 프로세스입니다. 그런 다음 앞서 언급한 이미징 원리에 따라 기존 시계의 0 시간에서의 파동장 값, 즉 새로운 시계 시간 t = τ의 파동장 값 u(x, τ, τ)가 이후의 출력 프로파일을 형성합니다. 이주.

2) 미분방정식의 성립

미분방정식(4-4-7)을 풀기 위해서는 차이를 이용하여 미분을 근사화하고 그림 4-와 같이 12를 이용한다. 4-5 점차 형식으로 다음을 얻을 수 있습니다.

지진파장 및 지진 탐사

방정식 (4-4-8)과 (4-4-9)를 (4-4- 7) 공식에서:

지진파장과 지진탐사

지진파장과 지진탐사

벡터 I와 T를 정의합니다:

I=[0,1,0] T=[-1,2,-1]

벡터 u(x, j, l)는 다음과 같습니다.

u (x, j, l) = [u (i-1, j, l), u (i, j, l), u (i + 1, j, l)]

그러면 (4-4-10)

지진파장과 지진탐사

로 줄여서

지진파장과 지진탐사

라고 할 수 있다. p>

(4-4-11 ) 공식은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다:

[I-(α+β)T]u(x,j+1,l+1) -[I+(α-β)T]u(x,j,l+1)+[ I-(α+β)T]u(x,j,l)=[I+(α-β)T]u (x,j+1,l)

따라서:

지진파장과 지진탐사

컴퓨터 계산에 적합한 미분 방정식입니다.

3) 계산 단계 및 마이그레이션 결과

차이 방정식(4-4-12)은 형식의 암시적 방정식, 즉 시간 깊이 τ = (j+1)입니다. ) Δτ 파동장 값은 시간 깊이 τ = jΔτ에서의 파동장 값만으로는 구할 수 없습니다. 식의 우변에는 여전히 τ = (j+1)Δτ라는 항이 있습니다. 그림 4-4-6과 같이 한 행의 데이터 u(x,j+1,l)를 얻기 위해서는 세 행의 데이터 u(x,j+1,l+1), u(x, j,l+1) 및 u(x, j, l)를 사용해야 합니다. 일반적으로 함축방정식은 연립방정식을 풀어서 풀어야 하는데, 이것이 더 번거롭습니다. 그러나 여기서는 복잡한 동시연산 없이 유리한 확정해 조건을 사용할 수 있습니다.

정확해 조건 b를 사용하여 새로운 깊이 τ = (j + 1) Δτ에서 파동장 값을 계산할 때 최대 시간부터 시작하여 먼저 다음과 같은 값의 행을 계산합니다. t = t최대. u(x,j+1,tmax+Δt)ל0 및 u(x,j,tmax+Δt)="0이기 때문에 다음이 가능합니다.

지진파장 및 지진 탐사

u(x,j+1, tmax) 계산은 알려진 u(x, j, tmax) 값만 사용하는데 이는 매우 쉽습니다. 그러면 식 (4-4-12)을 이용하여 τ = (j + 1) Δτ 깊이에서 언제든지 파동장 값을 찾는 데 어려움이 없다.

구체적인 계산은 지면에서 아래쪽으로 확장되어 깊이 Δτ의 파동장 값을 계산합니다. 먼저 t = tmax일 때 이 깊이에서 파동장을 계산한 다음 All이 될 때까지 t가 감소하는 방향으로 계산합니다. 이 깊이의 파동장 값이 계산됩니다. 한 깊이의 파동장 값 계산이 완료된 후 아래쪽으로 스텝 크기 Δτ만큼 계산이 계속됩니다. 비유적으로, 서로 다른 시간에 모든 지하 지점의 파동장 값을 얻을 수 있습니다.

앞서 언급했듯이 새 시계 t=τ 시점의 파동장 값이 바로 원하는 '이미지'입니다. 따라서 특정 깊이 τ의 파동장 값을 재귀적으로 계산할 때마다 t가 감소하는 방향의 t=tmax부터 계산은 t=τ일 때 종료될 수 있으며, u(x, τ, τ)는 깊이' 이미지 " 장소의. 다양한 깊이의 "이미지"는 마이그레이션 후 출력 프로필을 구성합니다.

그림 4-4-6 유한차분법 상쇄해의 한 단계

①u(x, j, l+1), ②u(x, j, l), ③u( x , j+1, l+1), ④u (x, j+1, l)

그림 4-4-7 오프셋 결과의 값 위치 다이어그램

그림 4 -4-7이 그려집니다. 오프셋 중 계산 관계 및 결과 값 위치가 그려집니다. A는 지면에서 관찰된 중첩 프로파일을 나타냅니다. A에서 다음 깊이 Δτ의 파동장 값 B를 계산합니다. B를 계산할 때 먼저 1'행의 값을 계산하고(A의 1행 값만 사용) 그런 다음 2행의 값을 계산합니다. 행 값(A의 첫 번째 및 두 번째 행의 값과 B의 1' 행의 값이 사용됨), t=Δτ 값이 계산될 때까지 계속해서 B 다음 깊이 2Δτ의 값을 계산합니다. t=2Δτ 값이 계산될 때까지 파동장 값 C는... 필요한 결과 프로파일 정보를 2차원 공간(x, t=τ)에 표시합니다.

연속 계산 단계 크기 Δτ가 지진 기록의 샘플링 간격 Δt와 동일한 경우 그림 4-4-7의 기하학적 관계에서 오프셋 프로파일이 45°임을 알 수 있습니다. 그림의 대각선 값. 실제 작업에서는 Δτ가 Δt와 같을 필요는 없습니다. Δτ는 경계면 경사각에 따라 결정되어야 하며 경사각이 클 경우 더 작은 Δτ를 취해야 합니다. 계산 작업량을 줄이기 위해 중간값을 구합니다.

다른 파동 방정식 이동 방법에 비해 유한 차분 방법은 측면 속도 변화에 적응할 수 있고 이동 잡음이 적으며 신호 대 잡음비가 프로파일인 경우에도 잘 작동한다는 장점이 있습니다. 그러나 15° 유한차분법은 경계면 경사각이 너무 크면 좋은 이동 효과를 얻을 수 없습니다. 따라서 45°, 60° 또는 심지어 90°의 유한 차분 이동 방법이 개발되었습니다. 관심 있는 독자는 관련 문헌을 참조할 수 있습니다.

2. 주파수 파수 영역에서의 파동 방정식 이동

유한 차분 이동 방법은 시간 및 공간 영역에서 계산됩니다. 푸리에 변환을 사용하여 주파수 파수 영역에서 마이그레이션을 구현할 수도 있습니다.

유한차분법 마이그레이션과 아이디어는 완전히 동일하며 수평 적층 프로파일은 동시에 방출되는 상향파의 지면에서의 파동장 값 u(x,0,t)라고 생각됩니다. 이를 사용하여 지하의 어느 지점에서나 파동장 값 u(x, z, t)를 찾는 것은 계속되는 과정입니다. 그런 다음 이미징 원리에 따라 시간 t=0의 값 u(x, z, 0)를 사용하여 마이그레이션 후 출력 프로필을 형성합니다.

속도가 반감된 후에도 파동방정식(4-4-3)에서 출발하여 x와 t에 대해 방정식의 양변을 2차원 푸리에변환하여 정규식을 구한다. 미분 방정식:

지진파장 및 지진 탐사

공식에서: U=U(kx, z, Ω)는 파동장 함수 u의 2차원 푸리에 변환입니다. (x, z, t), Ω =2πf는 각주파수, kx는 x 방향의 공간 파수입니다.

식(4-4-13)은 상미분방정식으로 풀기 쉽다. 상승하는 파동과 하강하는 파동에 해당하는 두 가지 솔루션이 있습니다. 마이그레이션에서는 위로 향하는 파동이 아래쪽으로 계속되는 것을 연구하므로 위로 향하는 파동 솔루션만 고려됩니다.

지진파 필드와 지진 탐사

여기서 U(kx, 0, Ω)는 솔루션입니다. 초기 의 값은 지상에서 기록된 상승 파동의 푸리에 변환입니다(z=0). 따라서 식 (4-4-14)은 주파수에서 파동장의 연속인 z=0에서의 파동장의 푸리에 변환으로부터 지하 임의 깊이의 파동장의 푸리에 변환을 구하는 과정을 나타낸다. 파수 도메인.

U(kx, z, Ω)는 역푸리에 변환을 통해 지하 모든 깊이에서 파동장 값을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.

지진파장 및 지진 탐사

영상 원리에 따르면 이동 결과는 t=0 깊이에서의 파동장 값이어야 합니다.

지진파장 및 지진 탐사

이것이 주파수입니다. 파수 도메인 마이그레이션 수학적 모델. 구체적인 구현 단계는 자세히 설명하지 않습니다.

상미분방정식(4-4-13)을 풀 때 초기값이 z=0에서의 파동장의 푸리에 변환을 취하지 않고, 파동장의 푸리에 변환을 취하는 경우 더 얕은 곳에서 값을 변환하면 다음을 얻을 수 있습니다.

지진파 필드 및 지진 탐사

따라서 위상 변이 방법 마이그레이션의 수학적 모델이 얻어집니다.

지진파장 및 지진파 탐사

이 공식을 사용하면 이미징을 아래쪽으로 점진적으로 확장할 수 있으며, 각 확장에 사용되는 속도를 변경할 수 있으므로 위상 변이 방법은 지진파의 종방향 변화에 적응할 수 있습니다. 속도.

주파수 파수 영역 이동 방법은 고속 푸리에 변환을 적용하므로 매우 효율적이며 실행 시간이 적게 소요됩니다. 파동 방정식 이동 알고리즘 중 가장 경제적인 방법이며 대규모 영역에 적합합니다. 경사각. 주파수 파수 영역에서 계산이 이루어지기 때문에 앨리어싱 주파수 문제에 주의가 필요하며, 이 방법은 측면 속도가 변화하는 영역에는 적합하지 않습니다.

3. 키르히호프 적분 마이그레이션

키르히호프 적분 마이그레이션은 파동방정식의 키르히호프 적분해에 기초한 마이그레이션 방법입니다.

3차원 종파 파동 방정식(1장 참조)의 키르히호프 적분해는

지진파장과 지진 탐사

여기서 Q는 주변점 (x, y, z)의 닫힌 표면, n은 Q의 외부 법선, r은 (x, y, z) 점에서 Q 표면의 각 점까지의 거리, [ ]는 지연 위치를 나타냅니다. , .

이 솔루션의 핵심은 닫힌 표면 Q의 각 지점에서 알려진 파동장 값에서 표면의 모든 지점의 파동장 값을 계산하는 것입니다. 이는 호이겐스 원리의 엄격한 수학적 형식입니다. .

무한 평면 Q0과 무한 반구 표면 Q1로 구성된 닫힌 표면 Q를 선택합니다. 표면 Q1의 각 지점 파동장 값의 면적 적분은 표면 위 지점의 파동장 함수에 0에 기여하므로 지하 각 지점의 파동장 값은 표면 위의 각 지점의 파동장 값에서만 계산됩니다. 평평한 표면 Q0. 이 조건에서 지하 어느 지점의 파동장 값은

지진파장과 지진탐사

이때 원래 식의 항은 사라지고 앞에 음부호가 붙는다. 적분부호는 양의 z축 방향이 n과 반대가 되어 양의 값이 된다.

소스 함수가 ​​주어지면 특정 지점으로 전파되는 파동의 파동장 값을 찾는 것이 직접적인 문제입니다. 위는 직접 문제에 대한 키르히호프 적분 계산 공식입니다. 마이그레이션은 지상에서 받은 파동장 값을 2차 소스로 처리하고, 시간을 거꾸로 거슬러 올라가 지하 파동장 값을 구하고, 에서 파동장 값을 취하여 반사 경계면을 결정하는 역문제를 다룬다. 시간 t=0. 위의 공식을 사용하여 반대 문제도 해결할 수 있습니다. 유일한 차이점은 [ ]가 더 이상 지연된 비트가 아니라 선행 비트라는 점입니다. 이러한 이해를 바탕으로 키르히호프 적분연속식은

지진파장과 지진탐사

이미징 원리에 따르면 t=0에서의 파동장 값이 오프셋 결과이다. . 2차원 이동만 고려하고 y 좌표를 무시하고 공간 깊이 z를 시간 깊이 t0=2z/v로 변환하고 키르히호프 적분 이동 공식을 얻습니다.

지진파장 및 지진 탐사

공식에서: xl은 지상 기록 추적의 가로좌표이고, x는 오프셋 후 프로필 추적의 가로좌표입니다(그림 4-4-8 참조).

그림 4-4-8 키르히호프의 이동 공식에 포함된 다양한 수량의 도식

다음을 얻습니다:

지진파장 및 지진 탐사

키르히호프 적분 이동은 회절 주사 중첩과 매우 유사하다는 것을 알 수 있습니다. 둘 다 회절 쌍곡선의 값에 따라 중첩되고 쌍곡선의 정점에 배치됩니다.

차이점은 다음과 같습니다.

a. 각 채널의 진폭을 취할 뿐만 아니라 중첩을 위해 각 채널 진폭의 미분 값도 취합니다.

b. 진폭 중첩은 단순 덧셈이 아닌 (4-4-22)식에 따른 가중치 중첩이다.

이 때문에 키르히호프 적분 마이그레이션 방식은 회절주사 스택 마이그레이션 방식과 형태적으로 유사하지만 본질적으로 다르다. 전자는 파동방정식을 바탕으로 하며, 이는 파동의 동적인 특성을 그대로 유지할 수 있고, 후자는 기하학적 지진학의 범주에 속하며 파동의 운동학적 특성만을 모사한다.

다른 파동 방정식 이동 방법에 비해 키르히호프 적분 방법은 이해하기 쉽고 높은 경사각 형성에 적용할 수 있다는 장점이 있습니다. 횡방향 속도 변화가 크고 오프셋 소음이 큰 지역에서는 사용이 어렵습니다.

지진파는 실제로 3차원 공간에서 전파되기 때문에 완전한 이동을 위해서는 3차원 이동이 이루어져야 한다. 현재 3차원 이동 방법은 2단계 방식에서 분할 방식까지 크게 발전해 근사화 없는 1단계 방식으로 완전한 3차원 이동이 이루어졌다.

위에 소개된 포스트 스택 마이그레이션에는 기본 가정이 있습니다. 즉, 수평 스태킹 프로파일은 자체 여기 및 자체 수축 프로파일입니다. 실제로 이 가정은 지하 인터페이스가 사실이 아닙니다. 복잡한. 진정한 중첩 및 마이그레이션을 달성하기 위해 마이그레이션과 중첩을 동시에 수행하여 진정한 완벽한 반사점 중첩을 달성할 수 있는 사전 스택 마이그레이션 방법이 개발되었습니다. 그러나 마이그레이션과 중첩 작업을 한 번에 완료하는 것은 속도 매개변수를 얻는 데 불리합니다. 이러한 이유로 절대 반사점 중첩 구현을 보장하기 위해 절대 중심점을 실제 절대 반사점으로 모으기 위해 부분 이주만 수행하는 사전 스택 부분 이주 방법이 개발되었습니다. 사전 스택 부분 마이그레이션 방법에 사후 스택 마이그레이션을 더한 방식은 사전 스택 마이그레이션과 동일합니다. *** 반사점 수집을 통해 속도 분석을 쉽게 수행할 수 있습니다.

현재 대부분의 마이그레이션은 여전히 ​​시간 마이그레이션입니다. 즉 마이그레이션 후에 얻는 것은 시간 프로필입니다. 시간 이동은 지진파가 인터페이스를 통과할 때 휘어지는 현상을 고려하지 않습니다. 이러한 현상을 고려하면 마이그레이션 후 얻은 깊이 프로파일을 깊이 마이그레이션이라고 합니다. 현재 3차원 사전 스택 깊이 마이그레이션이 가장 발전된 마이그레이션 방법입니다.

지진파는 실제로 탄성파입니다. 현재의 이동 방법은 모두 일종의 음파 이동인 음파 방정식을 사용합니다. 진정한 완전한 이동을 위해서는 탄성파 이동을 사용해야 합니다. 다중파 지진 데이터의 필요성으로 인해 현재 탄성파 이동은 거의 사용되지 않습니다.